椭圆：两焦点的舞蹈
模块一 · 第2课
用两根钉子和一根线就能画椭圆。把线的两端固定在钉子上，用铅笔绷紧线，绕一圈——你画出的就是一个完美的椭圆。这根线的长度不变，就是椭圆最本质的秘密。
探索问题
把两根钉子钉在纸上，相距10厘米。取一根长15厘米的线，两端系在钉子上。用铅笔绷紧线画一圈。
- 画出来的图形是什么形状？
- 如果我们把两根钉子靠得更近（比如相距2厘米），画出来的形状会有什么变化？
- 如果两根钉子重合在一起呢？
几何直觉：椭圆的定义
动画1：拖动点 P，验证距离之和
拖动蓝色点 P 在椭圆上移动。注意观察：无论 P 在椭圆的什么位置，\(|PF_1| + |PF_2|\) 的值始终不变，等于 \(2a\)。这就是椭圆的几何定义。
动画2：离心率改变形状
当 \(e=0\) 时，两个焦点重合，椭圆变成圆。当 \(e\) 接近1时，椭圆越来越扁，最终退化为一条线段。地球绕太阳的轨道离心率只有0.017——几乎是圆形的。
生活中的曲线
- 行星轨道：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于一个焦点
- 耳语廊：椭圆形大厅中，站在一个焦点说悄悄话，站在另一个焦点的人能清楚听到——声波从一个焦点反射后全部汇聚到另一个焦点
- 碎石机：医学上用椭圆反射原理粉碎肾结石，将冲击波从一个焦点聚焦到另一个焦点
- 鸡蛋的形状近似椭圆（严格来说是卵形线）
耳语廊效应（Whispering Gallery）
从一个焦点 \(F_1\) 发出的声波，碰到椭圆形墙壁后反射，全部汇聚到另一个焦点 \(F_2\)。这就是世界各地”耳语廊”的秘密——伦敦圣保罗大教堂、北京天坛回音壁都利用了类似的原理。
Desmos探索
调节 \(a\) 和 \(b\)，观察焦点位置和离心率的变化。注意：当 \(a < b\) 时，焦点在哪条轴上？
参考视频
关键帧
高考真题
已知椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)，\(F_1, F_2\) 分别是 \(C\) 的左、右焦点，\(P\) 是 \(C\) 上的一点，且 \(|PF_1|=1\)，则 \(|PF_2|=\)（ ）
A. \(1\) B. \(2\) C. \(3\) D. \(4\)
椭圆 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\) 中，\(a^2=4\)，\(a=2\)。
由椭圆定义：\(|PF_1|+|PF_2|=2a=4\)。
因为 \(|PF_1|=1\)，所以 \(|PF_2|=4-1=3\)。
答案：C
已知椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)\) 的左、右焦点分别为 \(F_1, F_2\)，\(P\) 是椭圆 \(C\) 上的一点，\(|PF_1|+|PF_2|=12\)，且 \(\triangle PF_1F_2\) 的周长为 \(22\)，则椭圆的焦距为（ ）
A. \(8\) B. \(10\) C. \(12\) D. \(14\)
由椭圆定义：\(|PF_1|+|PF_2|=2a=12\)，所以 \(a=6\)。
\(\triangle PF_1F_2\) 的周长 \(= |PF_1|+|PF_2|+|F_1F_2| = 12 + 2c = 22\)
所以 \(2c=10\)，焦距为 \(10\)。
答案：B
本课要点
- 椭圆的定义：平面上到两个定点（焦点）距离之和为常数（\(2a\)）的点的轨迹
- 离心率 \(e = c/a\) 决定椭圆的”扁”程度：\(e=0\) 是圆，\(e\) 越大越扁
- 焦点越分散，椭圆越扁；焦点越集中，椭圆越圆
- 椭圆的反射性质：从一个焦点发出的光（声波）都会汇聚到另一个焦点