圆锥曲线专题 — Conic Sections for Gaokao
基于认知科学设计的高考圆锥曲线交互式课程。采用 CRA 教学序列（具体→表征→抽象），以 D3.js 动画建立几何直觉，Desmos 交互图探索参数，最后推导公式和解题。
An interactive conic sections course designed around cognitive science principles. Geometric intuition first, algebra second.
模块一：看见曲线 (See the Curves)
先看见，再理解。不用公式，纯视觉探索。
| 课 | 主题 | 关键词 |
|---|---|---|
| 1.1 | 什么是圆锥曲线 — 平面切圆锥 | 锥面截面、三种曲线的诞生 |
| 1.2 | 椭圆：两焦点的舞蹈 | 定义、形状、离心率的直觉 |
| 1.3 | 双曲线：差的几何 | 定义、渐近线、两支 |
| 1.4 | 抛物线：反射的魔法 | 焦点、准线、反射性质 |
模块二：掌握工具 (Master the Tools)
从几何定义推导代数方程，建立数形结合。
| 课 | 主题 | 关键词 |
|---|---|---|
| 2.1 | 从定义到方程 | 标准方程推导 |
| 2.2 | 焦半径公式 | |
| 2.3 | 离心率：一个数决定一切 | e的几何意义与求法 |
| 2.4 | 韦达定理：解析几何最强工具 | 设而不求、根与系数 |
模块三：小题速解 (Quick-Solve for Small Questions)
选择题/填空题的6大高频题型，目标：30秒出答案。
| 课 | 主题 | 对应高考题型 |
|---|---|---|
| 3.1 | 离心率计算与范围 | 几乎每年必考 |
| 3.2 | 标准方程求解 | 高频选择/填空 |
| 3.3 | 焦点三角形 | 面积、角度、内切圆 |
| 3.4 | 渐近线与几何性质 | 双曲线快速判断 |
| 3.5 | 二级结论速查 | 12条最实用结论 |
模块四：大题攻略 (Conquer the Big Problems)
解答题的标准流程和11大题型。子技能分离训练。
| 课 | 主题 | 核心技能 |
|---|---|---|
| 4.1 | 通解流程：设→联→韦→代 | 解题框架 |
| 4.2 | 直线与曲线的交点 | 联立、判别式、弦长 |
| 4.3 | 定点问题 | 消参→定点 |
| 4.4 | 定值问题 | 先猜后证 |
| 4.5 | 中点弦与点差法 | 设而不求 |
| 4.6 | 面积、范围与存在性 | 综合题型 |
模块五：提分技巧 (Score Boosters — Optional)
冲刺满分的高级工具。标注为选学。
| 课 | 主题 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 5.1 | 齐次化与硬解定理 | 简化计算量80% |
| 5.2 | 仿射变换 | 椭圆↔︎圆的快速通道 |
| 5.3 | 极点极线与射影几何 | 高考命题背景 |
设计理念
本课程基于以下认知科学研究设计：
- CRA序列 — 先具体（D3动画）→ 再表征（Desmos图）→ 最后抽象（公式）
- 认知负荷理论 — 复杂解题拆分为子技能，逐个训练再组合
- Worked Example效应 — 先看完整解题过程，再渐退练习
- 双编码 — 每个公式同时展示代数形式和几何动画
- Productive Failure — 每课开头先探索问题，再讲解
内容来源：B站名师 一数 (9M粉丝) 和 赵礼显，经认知科学框架重组。