抛物线：反射的魔法

模块一 · 第4课

Published

March 22, 2026

卫星天线为什么是抛物面？因为所有信号都会汇聚到焦点。这个看似简单的性质，背后是抛物线最美的几何秘密：曲线上任何一点到焦点的距离，恰好等于它到一条直线（准线）的距离。

探索问题

先想一想

想象你站在一个空旷的场地上。场地的一侧有一面墙（一条直线），场地中央有一根柱子（一个点）。

你想找到这样一个位置：你到墙的距离恰好等于你到柱子的距离。

拖动抛物线上的蓝色点 P

拖动蓝色点 P 在抛物线上移动。无论 P 在哪里，它到焦点 F 的距离和到准线 \(l\) 的距离始终相等。这就是抛物线的定义：到定点和定直线等距的点的轨迹。

点击按钮观察光线反射

点击”发射光线”：从焦点出发的光线碰到抛物面后，反射光全部变成平行光。点击”反向”：平行光碰到抛物面后，全部汇聚到焦点。这就是卫星天线、手电筒、汽车大灯的工作原理。

抛物线在生活中

选择模式观察抛物面反射

点击”平行信号 → 焦点”：远方的平行信号碰到抛物面后，全部汇聚到焦点——这就是卫星天线和太阳灶的原理。点击”焦点光源 → 平行光”：将灯泡放在焦点处，反射后变成平行光束——这就是汽车大灯和手电筒的原理。两者互为逆过程。

调节参数 \(p\)，观察焦点和准线如何移动。\(p\) 越大，抛物线的开口越大，焦点离顶点越远。

高考真题：2020年全国I卷第5题

已知抛物线 \(C: y^2=4x\) 的焦点为 \(F\)，直线 \(l\) 过 \(F\) 且与 \(C\) 交于 \(A, B\) 两点。若 \(|AF|=3\)，则 \(|BF|=\)（　　）

A. \(\dfrac{3}{2}\) 　B. \(\dfrac{3}{4}\) 　C. \(\dfrac{4}{3}\) 　D. \(\dfrac{3}{5}\)

解题思路与答案

\(y^2=4x\) 中 \(2p=4\)，\(p=2\)，焦点 \(F(1,0)\)。

焦半径公式：\(|AF|=x_A+\dfrac{p}{2}=x_A+1=3\)，所以 \(x_A=2\)。

代入 \(y^2=4x\)：\(y_A^2=8\)，\(y_A=\pm 2\sqrt{2}\)。

过焦点的直线与抛物线交于 \(A, B\)，利用抛物线焦点弦性质： \[\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}=\frac{2}{2}=1\]

所以 \(\dfrac{1}{|BF|}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)，\(|BF|=\dfrac{3}{2}\)。

答案：A

高考真题：2019年全国II卷第8题

已知抛物线 \(C: y^2=2px\ (p>0)\) 的准线为 \(l\)，\(A\) 是 \(C\) 上的一点，\(F\) 为焦点。已知 \(A\) 到 \(l\) 的距离为 \(10\)，\(|AF|=10\)，\(|OF|=1\)（\(O\) 为原点），则 \(p=\)（　　）

A. \(1\) 　B. \(2\) 　C. \(4\) 　D. \(8\)

解题思路与答案

抛物线的焦点 \(F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)\)，\(|OF|=\dfrac{p}{2}=1\)，所以 \(p=2\)。

验证：准线为 \(x=-1\)，\(A\) 到准线距离等于 \(|AF|=10\)，满足抛物线定义 ✓

答案：B

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