韦达定理：解析几何最强工具
模块二 · 第4课
前三课我们掌握了标准方程、焦半径公式和离心率。今天我们学习解析几何大题中最核心的代数工具——韦达定理。当直线与圆锥曲线相交时，联立方程得到的二次方程的两根就是交点坐标，韦达定理让我们不用解方程就能算出根的和与积。这就是“设而不求”的精髓。
探索问题
直线 \(y = x + 1\) 与椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\) 交于两点 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\)。
你能不解方程，直接求出 \(x_1 + x_2\) 和 \(x_1 \cdot x_2\) 吗？如果能，那弦长 \(|AB|\) 也能直接求出来了。
试着把 \(y = x + 1\) 代入椭圆方程，看看会得到什么。
几何直觉：韦达定理与交点的关系
韦达定理是初中学过的知识，但它在高中解析几何中发挥着核心作用。当直线与圆锥曲线联立时，我们会得到一个关于 \(x\)（或 \(y\)）的二次方程。这个方程的两个根就是两个交点的坐标。
韦达定理让我们跳过”解方程求根”这一步，直接用系数计算根的和与积，再用这些结果计算各种几何量。
动画1：二次方程的根与韦达定理
调节 \(a, b, c\) 三个参数，观察二次方程的根如何变化，同时验证韦达定理 \(x_1 + x_2 = -b/a\)，\(x_1 x_2 = c/a\) 始终成立。
公式推导
韦达定理回顾
对于一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），如果有两个根 \(x_1, x_2\)，则：
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}\]
证明： 由因式分解 \(a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1 x_2 = 0\)
与 \(ax^2 + bx + c = 0\) 比较系数即得。
判别式的作用
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
- \(\Delta > 0\)：两个不同实根，直线与曲线交于两点
- \(\Delta = 0\)：重根，直线与曲线相切
- \(\Delta < 0\)：无实根，直线与曲线相离
做解析几何大题时，联立方程后必须验证 \(\Delta > 0\)！很多同学直接用韦达定理而忘记检查判别式，这是常见失分点。
“设而不求”原则
在解析几何中，我们经常需要计算弦长、中点、面积等几何量。这些量都可以用 \(x_1 + x_2\) 和 \(x_1 x_2\) 来表示，无需真正解出 \(x_1, x_2\)。这就是“设而不求”：
| 几何量 | 用韦达定理表示 |
|---|---|
| 中点横坐标 | \(\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) |
| 弦长平方 | \(\|AB\|^2 = (1 + k^2)[(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2]\) |
| \((x_1-x_2)^2\) | \((x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2\) |
动画2：直线与圆锥曲线联立的完整流程
调节直线的斜率 \(k\) 和截距 \(m\)，观察直线与椭圆的交点变化。右侧面板展示了完整的”联立 → 二次方程 → 韦达定理 → 几何量”流程。
Worked Example
题目： 直线 \(y = x + 1\) 与椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\) 交于 \(A, B\) 两点。求弦长 \(|AB|\) 和弦的中点坐标。
解题过程：
Step 1：联立方程
将 \(y = x + 1\) 代入 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)：
\[\frac{x^2}{4} + (x + 1)^2 = 1\]
\[\frac{x^2}{4} + x^2 + 2x + 1 = 1\]
\[\frac{5x^2}{4} + 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x^2 + 8x = 0\]
Step 2：检查判别式
\[\Delta = 64 - 4 \times 5 \times 0 = 64 > 0 \quad \checkmark\]
有两个不同实根。
Step 3：韦达定理
\[x_1 + x_2 = -\frac{8}{5}, \quad x_1 x_2 = \frac{0}{5} = 0\]
Step 4：求中点
\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{4}{5}\]
\[\bar{y} = k\bar{x} + m = -\frac{4}{5} + 1 = \frac{1}{5}\]
中点坐标 \(\left(-\dfrac{4}{5}, \dfrac{1}{5}\right)\)。
Step 5：求弦长
\[|AB|^2 = (1 + k^2)\left[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2\right]\]
\[= (1 + 1)\left[\left(-\frac{8}{5}\right)^2 - 4 \times 0\right] = 2 \times \frac{64}{25} = \frac{128}{25}\]
\[\boxed{|AB| = \frac{8\sqrt{2}}{5}}\]
全程没有解方程求 \(x_1, x_2\) 的具体值！
Desmos探索
调节 \(k\) 和 \(m_0\)，观察直线与椭圆的交点变化。试着找到相切的情况（\(\Delta = 0\)）和相离的情况（\(\Delta < 0\)）。
参考视频
关键帧
速查表
韦达定理： \(ax^2 + bx + c = 0\) → \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\)，\(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\)
弦长公式： 若直线 \(y = kx + m\) 与曲线交于 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)：
\[|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}\]
中点坐标： \(\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\)，\(\bar{y} = k\bar{x} + m\)
常用恒等式：
- \((x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2\)
- \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2\)
- \(|x_1 - x_2| = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\)
解题流程： 设 → 联 → 韦 → 代
- 忘记检查 \(\Delta > 0\)：联立后必须验证判别式大于零！特别是含参数的题目，\(\Delta > 0\) 会给出参数范围的限制
- 直线斜率不存在的情况遗漏：当直线平行于 \(y\) 轴时（\(x = m\)），不能写成 \(y = kx + m\) 的形式，需要单独讨论
- 联立时展开出错：\((kx + m)^2 = k^2x^2 + 2kmx + m^2\)，不要漏掉交叉项 \(2km\)
- 韦达定理的符号搞反：\(x_1 + x_2 = \mathbf{-}\dfrac{b}{a}\)，有一个负号！
- 弦长公式忘记乘 \(\sqrt{1+k^2}\)：\(|x_1 - x_2|\) 只是横坐标之差，弦长还要考虑斜率
- 代入时搞混变量：联立关于 \(x\) 的方程后用韦达定理得到的是 \(x\) 的和与积，不要误当成 \(y\) 的