离心率计算与范围

模块三 · 第1课

离心率 \(e = \dfrac{c}{a}\) 是圆锥曲线的”身份证号”——一个数就决定了曲线的形状。高考选择填空里，离心率相关题出现频率极高，我们今天训练的目标：看到题 → 识别类型 → 30秒出答案。

探索问题

Tip先试一试（限时60秒）

（2018年全国卷） 设椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a>b>0\)）的左、右焦点分别为 \(F_1\)、\(F_2\)，\(P\) 为椭圆上一点，\(PF_1 \perp F_1F_2\)，\(\angle PF_2F_1 = 60°\)，则椭圆的离心率为 ____。

先尝试做一做，然后看看我们的速解方法。

题型识别

Note如何一眼识别”离心率题”

关键词信号：

看到这些条件	立刻想到
焦点三角形 + 角度	定义 + 解三角形 → \(a,b,c\) 关系
对称性（中点、中位线）	构造隐藏焦点三角形
给了斜率 \(\dfrac{b}{c}\) 或 \(\dfrac{b}{a}\)	特征三角形（上顶点与焦点连线）
问”\(e\) 的范围”	找 \(a,b,c\) 的不等式
暴力条件（坐标代入）	硬算坐标 → 代入椭圆方程

核心思路： 求离心率 = 找 \(a\)、\(b\)、\(c\) 之间的等式或不等式。

解题方法

方法一：定义 + 解三角形（最常见）

椭圆上的点 \(P\) 与两焦点 \(F_1\)、\(F_2\) 构成焦点三角形。利用椭圆定义 \(|PF_1| + |PF_2| = 2a\) 和余弦定理，建立 \(a\)、\(c\) 的关系。

方法二：结论速用

• 上顶点到焦点的距离 \(= a\)（特征三角形三边为 \(a\)、\(b\)、\(c\)）
• 焦半径公式：\(|PF_1| = a + ex_0\)，\(|PF_2| = a - ex_0\)

方法三：设一法

当只需要比值关系时，令 \(a = 1\)（或某个方便的值），直接解方程。

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Worked Example 1：直角焦点三角形

题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)，\(F_1\)、\(F_2\) 为焦点，\(P\) 为椭圆上一点，\(PF_1 \perp F_1F_2\)，\(\angle PF_2F_1 = 60°\)。求 \(e\)。

Caution完整解答

第一步：识别三角形

\(PF_1 \perp F_1F_2\)，\(\angle PF_2F_1 = 60°\) → 这是 30-60-90 直角三角形。

第二步：写出边长比

斜边 \(|F_1F_2| = 2c\)，三边比 \(1 : \sqrt{3} : 2\)：

\[|PF_1| = c, \quad |PF_2| = \sqrt{3}\,c\]

第三步：用定义建立等式

\[|PF_1| + |PF_2| = 2a \implies c + \sqrt{3}\,c = 2a\]

\[\frac{c}{a} = \frac{2}{1+\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3} - 1\]

\[\boxed{e = \sqrt{3} - 1}\]

Worked Example 2：隐藏焦点三角形

题目： （2015年高考）椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)，右焦点 \(F(c,0)\)，直线 \(y = \dfrac{b}{c}x\) 经过右焦点关于该直线的对称点 \(Q\) 在椭圆上。求 \(e\)。

Caution完整解答

第一步：识别隐藏结构

斜率 \(\dfrac{b}{c}\) 恰好是上顶点 \(B(0,b)\) 与左焦点 \(F_1(-c,0)\) 连线的斜率！所以 \(Q\) 实际上就是上顶点 \(B\)。

第二步：构造焦点三角形

\(F\) 关于直线 \(BF_1\) 对称到 \(Q = B\)，中点和 \(BF_1\) 垂直 → \(B\)、\(F_1\)、\(F\) 构成等腰直角三角形。

第三步：利用等腰直角三角形

\[|BF_1| = |BF| = a, \quad |F_1F| = \sqrt{2}\,a = 2c\]

\[e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[\boxed{e = \frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Worked Example 3：离心率范围

题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a>b>0\)），\(F_1\)、\(F_2\) 为左右焦点，椭圆上存在点 \(P\) 使得 \(|PF_1| = 2|PF_2|\)。求离心率 \(e\) 的范围。

Caution完整解答

第一步：利用定义

设 \(|PF_2| = m\)，则 \(|PF_1| = 2m\)。

\[m + 2m = 2a \implies m = \frac{2a}{3}, \quad 2m = \frac{4a}{3}\]

第二步：利用焦点距离范围

椭圆上点到焦点的距离范围：\(a - c \leqslant |PF_2| \leqslant a + c\)

\[a - c \leqslant \frac{2a}{3} \leqslant a + c\]

第三步：解不等式

左边：\(a - c \leqslant \frac{2a}{3}\) → \(\frac{a}{3} \leqslant c\) → \(e \geqslant \frac{1}{3}\)

右边：\(\frac{2a}{3} \leqslant a + c\) → 总成立（\(c > 0\)）

\[\boxed{\frac{1}{3} \leqslant e < 1}\]

D3动画：离心率约束可视化

我们用动画展示几何条件如何约束离心率的取值范围。

离心率 e： e = 0.50

拖动滑块改变离心率 \(e\)，观察椭圆形状的变化。点击并拖动可以移动点 \(P\)，实时查看 \(|PF_1|\) 和 \(|PF_2|\) 的值。数轴上绿色区域表示满足条件 \(|PF_1| = 2|PF_2|\) 时 \(e\) 的有效范围。

Faded Example 1

题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)，\(F_1\)、\(F_2\) 为焦点，\(P\) 为椭圆上一点，\(\angle F_1PF_2 = 90°\)，\(|PF_1| = 3|PF_2|\)。求 \(e\)。

Warning填空完成

第一步： 设 \(|PF_2| = m\)，则 $|PF_1| = $ ______。

由定义：$m + $ ______ \(= 2a\)，解得 $m = $ ______。

第二步： 在直角三角形 \(\triangle PF_1F_2\) 中，\(\angle F_1PF_2 = 90°\)，由勾股定理：

\[|PF_1|^2 + |PF_2|^2 = |F_1F_2|^2\]

\[\text{______}^2 + m^2 = (2c)^2\]

第三步： 代入 \(m\) 的值，化简得 \(c\) 与 \(a\) 的关系：______，所以 $e = $ ______。

Faded Example 2

题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a>b>0\)），\(B\) 为上顶点，\(F\) 为右焦点。若 \(\angle ABF \leqslant 90°\)（\(A\) 为左顶点），求 \(e\) 的范围。

Warning填空完成

第一步： \(A(-a, 0)\)，\(B(0, b)\)，\(F(c, 0)\)。

$ = $ ______，$ = $ ______。

第二步： \(\angle ABF \leqslant 90°\) → \(\vec{BA} \cdot \vec{BF}\) ______ \(0\)

\[(-a)(c) + (-b)(-b) \leqslant 0\]

\[b^2 \leqslant ac\]

第三步： 用 \(b^2 = a^2 - c^2\) 替换：

\[a^2 - c^2 \leqslant\] ______

两边除以 \(a^2\)：______ → \(e \geqslant\) ______。

结合 \(0 < e < 1\)：$e $ ______。

Desmos验证

调节 \(a\) 和 \(c\)（保持 \(c < a\)），观察离心率 \(e = c/a\) 如何变化。验证上面各题的答案。

参考视频

关键帧

离心率定义与取值范围

焦点三角形求离心率

离心率范围：距离约束法

设一法快速求值

高考真题演练

Warning高考真题：2023年 全国卷 第5题

设椭圆 \(C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1\ (a>1)\), \(C_2:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) 的离心率分别为 \(e_1,e_2\). 若 \(e_2=\sqrt{3}\,e_1\), 则 \(a=\)

A. \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)   B. \(\sqrt{2}\)   C. \(\sqrt{3}\)   D. \(\sqrt{6}\)

Tip解题思路与答案

第一步： 分别写出离心率。

\(C_2\): \(a_2=2\), \(b_2=1\), \(c_2=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\), 所以 \(e_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

\(C_1\): \(a_1=a\), \(b_1=1\), \(c_1=\sqrt{a^2-1}\), 所以 \(e_1=\dfrac{\sqrt{a^2-1}}{a}\).

第二步： 代入 \(e_2=\sqrt{3}\,e_1\)：

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}\]

\[\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{a^2-1}}{a} \implies \frac{a^2}{4} = a^2 - 1 \implies a^2 = \frac{4}{3} \implies a = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

答案选 A。

Warning高考真题：椭圆焦点三角形角度求离心率范围

已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)\) 的左、右焦点为 \(F_1,F_2\), 椭圆上存在点 \(P\) 使得 \(\angle F_1PF_2=120°\). 求离心率 \(e\) 的取值范围.

Tip解题思路与答案

第一步： 设 \(|PF_1|=m\), \(|PF_2|=n\), 由定义 \(m+n=2a\).

由余弦定理：\((2c)^2=m^2+n^2-2mn\cos120°=m^2+n^2+mn\).

第二步： 利用 \(m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=4a^2-2mn\), 代入得：

\[4c^2=4a^2-2mn+mn=4a^2-mn \implies mn=4a^2-4c^2=4b^2\]

第三步： 由均值不等式 \(mn\leqslant\left(\dfrac{m+n}{2}\right)^2=a^2\), 又需 \(mn>0\)：

\[4b^2 \leqslant a^2 \implies 4(a^2-c^2)\leqslant a^2 \implies 3a^2\leqslant 4c^2 \implies e\geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}\]

又 \(\angle F_1PF_2=120°<180°\), 且 \(P\) 不在 \(x\) 轴上, 所以 \(e<1\).

\[\boxed{e\in\left[\frac{\sqrt{3}}{2},\,1\right)}\]

注意：\(e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 时 \(m=n\), 即 \(P\) 在短轴端点, 可以取到等号.

Warning高考真题：圆与直线相切求离心率

已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)\), 以长轴 \(A_1A_2\) 为直径的圆与直线 \(bx-ay+2ab=0\) 相切. 求离心率 \(e\).

Tip解题思路与答案

第一步： 以 \(A_1A_2\) 为直径的圆: 圆心为原点, 半径为 \(a\).

第二步： 圆心 \((0,0)\) 到直线 \(bx-ay+2ab=0\) 的距离等于 \(a\)：

\[d=\frac{|b\cdot0-a\cdot0+2ab|}{\sqrt{b^2+a^2}}=\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=a\]

第三步： 化简：

\[2b=\sqrt{a^2+b^2} \implies 4b^2=a^2+b^2 \implies 3b^2=a^2\]

用 \(b^2=a^2-c^2\)：\(3(a^2-c^2)=a^2 \implies 2a^2=3c^2\)

\[e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{2}{3} \implies \boxed{e=\frac{\sqrt{6}}{3}}\]

速查表 + ⚠️易错点

Important离心率速查表

公式	适用情景
\(e = \dfrac{c}{a}\)，\(c^2 = a^2 - b^2\)（椭圆）	所有离心率题的出发点
\(e = \dfrac{c}{a}\)，\(c^2 = a^2 + b^2\)（双曲线）	注意加减号不同！
焦半径：\(\|PF_1\| = a + ex_0\)，\(\|PF_2\| = a - ex_0\)	已知横坐标求焦点距离
椭圆上点到焦点距离范围：\([a-c, a+c]\)	求 \(e\) 的范围
上顶点到焦点距离 \(= a\)	特征三角形三边 \(a, b, c\)
设一法：令 \(a = 1\)，解方程求 \(c\)	只需比值关系时

Warning⚠️ 高频易错点

1. 椭圆与双曲线公式混淆：椭圆 \(c^2 = a^2 - b^2\)，双曲线 \(c^2 = a^2 + b^2\)。写之前先确认曲线类型！
2. 忘记连另一个焦点：题目只给了 \(P\) 与一个焦点的连线时，一定主动补上与另一个焦点的连线，才能使用定义。
3. 范围题忘记检查端点：求 \(e\) 的范围时，别忘了检查取等条件是否可以实现（点是否在椭圆上）。
4. 设一法后忘记验证：设 \(a = 1\) 后解出 \(b\) 值，注意 \(b > 0\) 且 \(b < a\)（椭圆焦点在 \(x\) 轴上时）。
5. 解三角形时角度与边对应错误：焦点三角形中，\(|F_1F_2| = 2c\) 是对着顶角 \(\angle F_1PF_2\) 的边。