焦点三角形
模块三 · 第3课
焦点三角形是高考圆锥曲线的”超高频考点”——在2020-2024年全国各卷中反复出现。我们今天集中训练面积公式、角度计算和内切圆性质，目标是看到”焦点三角形”四个字就条件反射地写出公式。
探索问题
（2022年全国甲卷改编） 椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} = 1\) 的焦点为 \(F_1\)、\(F_2\)，\(P\) 为椭圆上一点，\(\angle F_1PF_2 = 60°\)。求 \(\triangle F_1PF_2\) 的面积。
提示：你能不用余弦定理，直接秒杀吗？
题型识别
看到以下任一条件，立刻反应”焦点三角形”：
- \(P\) 为椭圆/双曲线上一点，\(F_1\)、\(F_2\) 为焦点
- 涉及 \(\angle F_1PF_2\)（顶角）
- 问面积、周长、内切圆半径
三大核心公式：
\[S_{\triangle F_1PF_2} = b^2 \tan\frac{\theta}{2}\]
\[\text{周长} = 2a + 2c\]
\[r_{\text{内切圆}} = \frac{b^2}{a + c} \quad (\text{用等面积法推导})\]
其中 \(\theta = \angle F_1PF_2\)。
Worked Example 1：面积公式直接用
题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} = 1\)，\(F_1\)、\(F_2\) 为焦点，\(P\) 为椭圆上一点，\(\angle F_1PF_2 = 60°\)。求 \(\triangle F_1PF_2\) 的面积。
第一步：读参数
\(a^2 = 4\)，\(b^2 = 2\)，\(c^2 = 4 - 2 = 2\)。
第二步：直接套公式
\[S = b^2 \cdot \tan\frac{\theta}{2} = 2 \times \tan 30° = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]
\[\boxed{S = \frac{2\sqrt{3}}{3}}\]
就是这么快。 如果不知道公式，需要设 \(|PF_1| = m\)、\(|PF_2| = n\)，列定义和余弦定理两个方程，计算量大得多。
Worked Example 2：面积公式反求角度
题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1\)，焦点三角形面积为 \(\sqrt{3}\)。求 \(\angle F_1PF_2\)。
第一步：读参数
\(a^2 = 9\)，\(b^2 = 5\)，\(c^2 = 4\)。
第二步：由面积反求角度
\[S = b^2 \cdot \tan\frac{\theta}{2} \implies \sqrt{3} = 5 \cdot \tan\frac{\theta}{2}\]
\[\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{5}\]
\[\frac{\theta}{2} = \arctan\frac{\sqrt{3}}{5}, \quad \theta = 2\arctan\frac{\sqrt{3}}{5}\]
如果题目是选择题，我们可以检验选项。例如若答案是 \(60°\)：\(\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} \neq \frac{\sqrt{3}}{5}\)，排除。
\[\boxed{\theta = 2\arctan\frac{\sqrt{3}}{5} \approx 38.2°}\]
Worked Example 3：内切圆半径
题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)，焦点三角形的内切圆圆心为 \(I\)。已知 \(P(x_0, y_0)\) 在椭圆上，求内切圆半径 \(r\) 和圆心 \(I\) 的坐标。
第一步：等面积法求 \(r\)
内切圆将 \(\triangle F_1PF_2\) 分成三个小三角形，高都是 \(r\)：
\[S = \frac{1}{2}r(|PF_1| + |PF_2| + |F_1F_2|) = \frac{1}{2}r(2a + 2c)\]
又 \(S = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot |y_0|\)（底 \(= |F_1F_2| = 2c\)，高 \(= |y_0|\)）
\[r = \frac{2c \cdot |y_0|}{2(a+c)} = \frac{c \cdot |y_0|}{a + c}\]
第二步：求圆心横坐标 \(x_I\)
利用切线长相等：从 \(F_1\) 出发的两条切线长相等，从 \(F_2\) 出发的也是。
\[|PF_1| - |PF_2| = (x_I + c) - (c - x_I) = 2x_I\]
又 \(|PF_1| - |PF_2| = (a + ex_0) - (a - ex_0) = 2ex_0\)
所以 \(x_I = ex_0\)。
第三步：求圆心纵坐标 \(y_I\)
\(y_I = r = \dfrac{c \cdot |y_0|}{a + c}\)
\[\boxed{I\left(ex_0, \;\frac{c \cdot |y_0|}{a+c}\right), \quad r = \frac{c \cdot |y_0|}{a+c}}\]
D3动画：焦点三角形交互
拖动椭圆上的点 \(P\)，实时观察焦点三角形的面积、角度和内切圆变化。
拖动滑块改变点 \(P\) 的位置，观察：
- \(\angle F_1PF_2\) 如何变化
- 面积公式 \(S = b^2\tan(\theta/2)\) 的实时验证
- 内切圆（紫色）的半径和圆心位置
Faded Example 1
题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)，\(P\) 为椭圆上一点，\(\angle F_1PF_2 = 90°\)。求 \(\triangle F_1PF_2\) 的面积和内切圆半径。
面积： $S = b^2 = $ ______ \(\times \tan\) ______ $= $ ______
内切圆半径： 先求 $c = $ ______
等面积法：$S = r (2a + 2c) = r $ ______
所以 $r = = $ ______
Faded Example 2
题目： 椭圆的焦点三角形中，\(|PF_1| = 3\)，\(|PF_2| = 5\)，\(\angle F_1PF_2 = 60°\)。求椭圆的 \(a\)、\(b\)、\(c\)。
第一步： 由定义：$|PF_1| + |PF_2| = $ ______ \(= 2a\) → $a = $ ______
第二步： 由余弦定理求 \(|F_1F_2|\)：
\[|F_1F_2|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 60° = \] ______
$|F_1F_2| = 2c = $ ______ → $c = $ ______
第三步： $b^2 = a^2 - c^2 = $ ______
验证： $S = b^2(30°) = $ ______ $= ° = $ ______ ✓
Desmos验证
拖动参数 \(t\) 改变 \(P\) 的位置，观察焦点三角形的变化。
参考视频
关键帧
速查表 + ⚠️易错点
| 公式 | 说明 |
|---|---|
| \(S = b^2\tan\dfrac{\theta}{2}\) | 椭圆焦点三角形面积（\(\theta = \angle F_1PF_2\)） |
| \(S = b^2 / \tan\dfrac{\theta}{2}\) | 双曲线焦点三角形面积 |
| 周长 \(= 2a + 2c\) | 椭圆焦点三角形周长 |
| \(r = \dfrac{c \cdot \|y_0\|}{a + c}\) | 内切圆半径 |
| \(I(ex_0, \;\dfrac{c \cdot \|y_0\|}{a+c})\) | 内切圆圆心坐标 |
| \(x_I = ex_0\) | 内心横坐标的简洁形式 |
- 椭圆与双曲线面积公式搞混：椭圆是 \(b^2\tan\frac{\theta}{2}\)，双曲线是 \(\dfrac{b^2}{\tan\frac{\theta}{2}}\)（分子分母互换）！
- 忘记检查 \(P\) 不在 \(x\) 轴上：当 \(P\) 在 \(x\) 轴上时，三角形退化为线段，面积为零，不构成焦点三角形。
- 内切圆半径推导中分母错误：分母是 \(a + c\)（不是 \(2a + 2c\)），因为已经在等面积法中约掉了系数。
- \(\theta\) 的范围：对于椭圆，\(0 < \theta < \pi\)；当 \(P\) 在短轴端点时 \(\theta\) 最大。
- 面积公式推导依赖余弦定理：\(S = \frac{1}{2}mn\sin\theta\)，配合 \(m + n = 2a\) 和余弦定理，不要跳步。