通解流程：设 → 联 → 韦 → 代

模块四 · 第1课

圆锥曲线解答题看起来千变万化，但我们今天要揭示一个秘密：几乎所有大题都遵循同一个四步流程。掌握了这个流程，即使遇到完全陌生的题型，我们也至少能拿到一半以上的分数。

探索问题

Tip先试一试

（2023全国甲卷）已知椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1\)，过点 \(P\!\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}, 0\right)\) 的直线 \(l\) 与椭圆 \(C\) 交于 \(E\)、\(F\) 两点。求 \(\dfrac{1}{|EP|^2} + \dfrac{1}{|FP|^2}\) 是否为定值？

先尝试动笔写出前几步，看能走多远。写不下去也没关系——我们马上就来拆解这个流程。

方法讲解：四步通解流程

我们把圆锥曲线大题的解题过程总结为四个字：设、联、韦、代。

动画：四步流程图

点击”下一步”，逐步查看每个步骤的操作要点和常见陷阱。

第一步：设直线

设直线的三种方式取决于定点的位置：

定点位置	设法	特殊情况
Y轴上 \((0, m)\)	\(y = kx + m\)	\(k\) 不存在（竖直线 \(x=0\)）
X轴上 \((n, 0)\)	\(x = ty + n\)	\(k = 0\)（水平线 \(y=0\)）
一般点 \((x_0, y_0)\)	\(y = kx + b\)（双参数）	\(k\) 不存在

Warning⚠ 第一个易错点

写在答题卡上的第一行，永远是讨论特殊情况！不讨论直接扣分。

第二步：联立方程

将直线方程代入曲线方程（椭圆/双曲线/抛物线），得到关于某个变量的一元二次方程：

\[Ay^2 + By + C = 0 \quad \text{（或关于 } x \text{ 的方程）}\]

Warning⚠ 双曲线特有陷阱

椭圆联立后二次项系数恒不为零，但双曲线可能为零！当直线斜率等于渐近线斜率时，二次项系数变为零，方程退化为一次方程。必须单独讨论。

化简技巧： 联立前先去分母，把 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 化为 \(b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2\)，避免后续计算中出现分式。

第三步：韦达定理

设两交点为 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\)，由韦达定理：

\[x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}, \quad x_1 x_2 = \frac{C}{A}\]

同时写出 \(\Delta > 0\)（因为题目说有两个交点），但不要展开——只写 \(\Delta > 0\) 即可，最后验证时再用。

第四步：代入目标

将题目要求翻译为只含 \(x_1 + x_2\)、\(x_1 x_2\) 的表达式，然后代入韦达结果。

关键技巧： 当需要 \(y_1\)、\(y_2\) 时，用直线方程替换：\(y_i = kx_i + b\)。绝对不要代入曲线方程——那会引入二次项，计算量爆炸。

Worked Example：完整解题过程

我们用开头的探索问题来演示完整流程。

题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1\)，过 \(P\!\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}, 0\right)\) 的直线 \(l\) 交椭圆于 \(E\)、\(F\)。求 \(\dfrac{1}{|EP|^2} + \dfrac{1}{|FP|^2}\) 是否为定值。

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【子目标1：讨论特殊情况】

若 \(k = 0\)（即 \(l\) 为 \(y = 0\)），则 \(E(-\sqrt{2},\, 0)\)，\(F(\sqrt{2},\, 0)\)。

\[|EP| = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{3}, \quad |FP| = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{6}}{3}\]

计算得 \(\dfrac{1}{|EP|^2} + \dfrac{1}{|FP|^2} = 3\)。

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【子目标2：设直线、联立】

\(P\) 在 \(x\) 轴上，设 \(l: x = ty + \dfrac{\sqrt{6}}{3}\)。

去分母后椭圆化为 \(x^2 + 2y^2 = 2\)。代入：

\[(ty + \tfrac{\sqrt{6}}{3})^2 + 2y^2 - 2 = 0\]

展开整理（乘以 3 去分母）：

\[3(t^2 + 2)y^2 + 2\sqrt{6}\,t\,y - 4 = 0\]

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【子目标3：韦达定理】

设 \(E(x_1, y_1)\)，\(F(x_2, y_2)\)：

\[y_1 + y_2 = \frac{-2\sqrt{6}\,t}{3(t^2+2)}, \quad y_1 y_2 = \frac{-4}{3(t^2+2)}\]

\(\Delta > 0\)（后续验证）。

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【子目标4：代入目标】

由于 \(l: x = ty + \dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，\(P\) 在 \(x\) 轴上（\(y_P = 0\)），利用弦长公式的底层逻辑：

\[|EP|^2 = (1+t^2)\,y_1^2, \quad |FP|^2 = (1+t^2)\,y_2^2\]

因此：

\[\frac{1}{|EP|^2} + \frac{1}{|FP|^2} = \frac{1}{1+t^2}\left(\frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2}\right) = \frac{1}{1+t^2} \cdot \frac{(y_1+y_2)^2 - 2y_1 y_2}{(y_1 y_2)^2}\]

【草稿纸技巧】 先用 \(A\)、\(B\)、\(C\) 表示系数：

\[\frac{(y_1+y_2)^2 - 2y_1 y_2}{(y_1 y_2)^2} = \frac{B^2/A^2 - 2C/A}{C^2/A^2} = \frac{B^2 - 2AC}{C^2}\]

代入 \(A = 3(t^2+2)\)，\(B = 2\sqrt{6}\,t\)，\(C = -4\)：

\[\frac{24t^2 + 24(t^2+2)}{16} = \frac{48t^2 + 48}{16} = 3(t^2+1)\]

所以原式 \(= \dfrac{1}{1+t^2} \cdot 3(1+t^2) = 3\)。

结论： \(\dfrac{1}{|EP|^2} + \dfrac{1}{|FP|^2}\) 为定值 \(3\)。与特殊情况一致。

子技能训练

训练1：只练”设直线”

判断下列情况应该怎样设直线，并写出特殊情况：

Note练习

1. 直线过点 \((0, 2)\)：设 ____，特殊情况 ____
2. 直线过右焦点 \((1, 0)\)：设 ____，特殊情况 ____
3. 直线过点 \((2, 1)\)：设 ____，特殊情况 ____
4. 直线过左顶点 \((-\sqrt{3}, 0)\)：设 ____，特殊情况 ____

Caution参考答案

1. \(y = kx + 2\)，特殊情况：\(k\) 不存在，即 \(x = 0\)
2. \(x = ty + 1\)，特殊情况：\(k = 0\)，即 \(y = 0\)
3. \(y = kx + b\)（双参数），特殊情况：\(k\) 不存在，即 \(x = 2\)
4. \(x = ty - \sqrt{3}\)，特殊情况：\(k = 0\)，即 \(y = 0\)

训练2：只练”联立”

Note练习

将直线 \(x = ty + 1\) 代入椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1\)，写出整理后的二次方程（先去分母！）。

提示：先将椭圆化为 \(3x^2 + 4y^2 = 12\)。

Caution参考答案

\(3x^2 + 4y^2 = 12\) 代入 \(x = ty + 1\)：

\[3(ty+1)^2 + 4y^2 - 12 = 0\]

\[3t^2 y^2 + 6ty + 3 + 4y^2 - 12 = 0\]

\[(3t^2 + 4)y^2 + 6ty - 9 = 0\]

训练3：只练”韦达”

Note练习

已知 \((3t^2 + 4)y^2 + 6ty - 9 = 0\)，直接写出 \(y_1 + y_2\) 和 \(y_1 y_2\)，并将 \(y_1^2 + y_2^2\) 用韦达表示。

Caution参考答案

\[y_1 + y_2 = \frac{-6t}{3t^2+4}, \quad y_1 y_2 = \frac{-9}{3t^2+4}\]

\[y_1^2 + y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1 y_2 = \frac{36t^2}{(3t^2+4)^2} + \frac{18}{3t^2+4}\]

Faded Example

题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)，过右焦点 \(F(\sqrt{3},\, 0)\) 的直线 \(l\) 交椭圆于 \(A\)、\(B\) 两点。求 \(|AB|\) 的取值范围。

【第一步：特殊情况】

若 \(k = 0\)，则 \(A\)、\(B\) 为左右顶点？不对—— \(y = 0\) 过焦点但交椭圆于 \((\pm 2, 0)\)，此时 $|AB| = $ ____。

若 \(k\) 不存在，\(x = \sqrt{3}\)，代入椭圆得 \(y = \pm\dfrac{1}{2}\)，$|AB| = $ ____。

【第二步：设直线联立】

设 \(l: y = kx + b\)，由 \(l\) 过 \(F(\sqrt{3}, 0)\)，得 $b = $ ____。

代入 \(x^2 + 4y^2 = 4\)：

\[x^2 + 4(kx - \sqrt{3}k)^2 = 4\]

\[(1 + 4k^2)x^2 - \text{\_\_\_\_}\,x + \text{\_\_\_\_} = 0\]

【第三步：韦达与弦长】

\[|AB| = \sqrt{1+k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1+k^2} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}\]

（请完成后续计算。）

Caution参考答案要点

\(b = -\sqrt{3}k\)。联立后得 \((1+4k^2)x^2 - 8\sqrt{3}k^2 x + 12k^2 - 4 = 0\)。

利用弦长公式和韦达定理，最终 \(|AB| \in (1, 4]\)。当 \(k \to \infty\) 时 \(|AB| \to 1\)（短轴方向），\(k = 0\) 时 \(|AB| = 4\)（长轴方向）。

⚠ 常见错误

Warning错误1：忘记讨论特殊情况

写答题卡的第一步就设 \(y = kx + b\)，没有讨论 \(k\) 不存在的情况。即使特殊情况不影响答案，不讨论也会被扣 1-2 分。

Warning错误2：设直线方式不当

过 \(x\) 轴上的点却设 \(y = kx + b\)，导致弦长公式中出现复杂根式。设 \(x = ty + n\) 会让 \(y_P = 0\) 的优势完全发挥。

Warning错误3：用曲线方程替换 \(y\)

需要 \(y_1 y_2\) 时代入椭圆方程 \(y^2 = 1 - x^2/4\) 得到四次方程——灾难！永远用直线方程替换：\(y_i = kx_i + b\)。

Warning错误4：急于展开 \(\Delta\)

\(\Delta\) 的表达式往往很长。除非题目问”是否有两个交点”，否则只写 \(\Delta > 0\) 即可，最后再验证。

Desmos验证

拖动参数 \(k\)，观察直线 \(l\) 旋转时与椭圆的交点如何变化。

参考视频

高考真题

Warning高考真题：2020年 全国I卷 第20题

已知椭圆 \(E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)\)，\(A, B\) 为左、右顶点，\(G\) 为上顶点，\(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}=8\)。点 \(P\) 在直线 \(x=6\) 上，直线 \(PA\) 交椭圆于另一点 \(C\)，直线 \(PB\) 交椭圆于另一点 \(D\)。

（1）求椭圆 \(E\) 的方程；

（2）证明：直线 \(CD\) 过定点。

Tip解题思路与答案

第（1）问：

\(A(-a,0), B(a,0), G(0,b)\)。

\(\overrightarrow{AG}=(a,b), \overrightarrow{GB}=(a,-b)\)。

\(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}=a^2-b^2=8\)，即 \(c^2=8\)，但还需一个条件。

实际上原题还给了过 \(B(3,0)\) 等条件。取标准设定 \(a^2-b^2=8\)，补充条件 \(a=3, b=1\)（\(a^2-b^2=8\) 则 \(a^2=9, b^2=1\)）。

椭圆方程：\(\dfrac{x^2}{9}+y^2=1\)。

验证：\(a^2-b^2=9-1=8\) ✓

第（2）问（通解流程演示）：

第一步——设： \(A(-3,0), B(3,0)\)，\(P(6,t)\)，设 \(C(x_1,y_1), D(x_2,y_2)\)。

第二步——联： 直线 \(PA\) 过 \((-3,0)\) 和 \((6,t)\)，斜率 \(k_1=\dfrac{t}{9}\)，方程 \(y=\dfrac{t}{9}(x+3)\)。代入椭圆得关于 \(x\) 的方程，用韦达定理求 \(x_1\)（另一根为 \(-3\)）。

第三步——韦达定理： 由韦达定理 \(x_1\cdot(-3)\) 和 \(x_1+(-3)\) 可表示出 \(x_1\)。同理处理 \(D\)。

第四步——代入化简： 求出 \(C, D\) 的坐标表达式后，写出直线 \(CD\) 的方程，证明其过定点 \(\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)\)。

答案： 椭圆方程 \(\dfrac{x^2}{9}+y^2=1\)；直线 \(CD\) 过定点 \(\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)\)。

本题体现的通解流程： 设→联→韦→代，是解析几何大题的标准四步法。

Warning高考真题：2024年 新高考I卷 第21题（第1问）

已知椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)，\(F_1, F_2\) 分别为左、右焦点。直线 \(l\) 过 \(F_1\) 且与椭圆交于 \(M, N\) 两点。求弦 \(MN\) 的长度范围。

Tip解题思路与答案

\(a=2, b=\sqrt{3}, c=1\)，\(F_1(-1,0)\)。

设直线： \(l: x=my-1\)（避免斜率不存在的讨论）。

联立： \(\dfrac{(my-1)^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)

\(3(my-1)^2+4y^2=12\)

\((3m^2+4)y^2-6my-9=0\)

由韦达定理：\(y_1+y_2=\dfrac{6m}{3m^2+4}\)，\(y_1 y_2=\dfrac{-9}{3m^2+4}\)。

弦长公式： \(|MN|=\sqrt{1+m^2}\cdot|y_1-y_2|\)

\((y_1-y_2)^2=(y_1+y_2)^2-4y_1y_2=\dfrac{36m^2+36(3m^2+4)}{(3m^2+4)^2}=\dfrac{144(m^2+1)}{(3m^2+4)^2}\)

\(|MN|=\sqrt{1+m^2}\cdot\dfrac{12\sqrt{m^2+1}}{3m^2+4}=\dfrac{12(m^2+1)}{3m^2+4}\)

设 \(u=m^2+1\geq 1\)，\(|MN|=\dfrac{12u}{3u+1}=4-\dfrac{4}{3u+1}\)。

\(u\geq 1\) 时，\(3u+1\geq 4\)，\(\dfrac{4}{3u+1}\leq 1\)，\(|MN|\geq 3\)（\(u=1\) 即 \(m=0\) 时取等，此时 \(l\) 垂直于 \(x\) 轴）。

\(u\to\infty\) 时，\(|MN|\to 4=2a\)（但不取到）。

答案： \(|MN|\in[3, 4)\)，当 \(l\perp x\) 轴时取最小值 \(3\)（通径长度 \(\dfrac{2b^2}{a}=3\)）。

关键帧

通解流程：设联韦代

设直线的三种方式

联立与韦达定理

弦长公式的底层逻辑

速查表

Important通解流程速查

步骤	操作	关键注意
设	根据定点位置选择设法	先写特殊情况！
联	代入曲线，整理为二次方程	先去分母；检查二次项系数
韦	写 \(x_1+x_2\)、\(x_1 x_2\)、\(\Delta > 0\)	不要展开 \(\Delta\)
代	目标式 → 韦达表达式 → 代入	\(y\) 用直线替换，不用曲线

弦长公式底层逻辑： 直角边之比 = \(1 : k : \sqrt{1+k^2}\)

\[|AB| = \sqrt{1+k^2}\,|x_1 - x_2| = \sqrt{1+t^2}\,|y_1 - y_2|\]