直线与曲线的交点
模块四 · 第2课
当直线遇见圆锥曲线，它们可能相离、相切或相交。判断位置关系、求弦长——这些是解答题最基本的”武器”。今天我们重点攻克判别式分析和弦长公式，尤其是双曲线中独有的陷阱。
探索问题
过点 \(\left(\dfrac{1}{2},\, 2\right)\) 作直线，与双曲线 \(4x^2 - y^2 = 1\) 有且仅有一个公共点。求所有这样的直线方程。
提示：答案不止两条——你能找到几条？
方法讲解：位置关系与弦长
核心思路
直线与圆锥曲线的位置关系，归根结底就是联立方程后看方程的解：
| 情况 | 二次方程 | 交点数 |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | 两个不同实根 | 2个交点（相交） |
| \(\Delta = 0\) | 两个相等实根 | 1个交点（相切） |
| \(\Delta < 0\) | 无实根 | 无交点（相离） |
但对双曲线，还有第四种情况：二次项系数为零，方程退化为一次方程——只有一个交点，但不是相切！
动画：直线旋转穿过曲线
Δ = ? 交点数: ?
拖动斜率滑块，观察： - 椭圆：交点数只取决于 \(\Delta\) 的符号 - 双曲线：当斜率等于渐近线斜率时，二次项系数为零，出现”第四种情况”
椭圆 vs 双曲线：关键区别
设直线 \(y = kx + m\)，代入 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（椭圆）：
\[\left(\frac{1}{a^2} + \frac{k^2}{b^2}\right)x^2 + \cdots = 0\]
二次项系数 \(= \dfrac{b^2 + a^2 k^2}{a^2 b^2} > 0\)，恒为正——永远是二次方程。
代入 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（双曲线）：
\[\left(\frac{1}{a^2} - \frac{k^2}{b^2}\right)x^2 + \cdots = 0\]
当 \(k = \pm\dfrac{b}{a}\)（渐近线斜率）时，二次项系数为零！
弦长公式
\[|AB| = \sqrt{1+k^2}\,|x_1 - x_2| = \sqrt{1+k^2} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}\]
其中 \(|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1 x_2}\)。
Worked Example
题目： 过点 \(\left(\dfrac{1}{2},\, 2\right)\) 作直线，与双曲线 \(4x^2 - y^2 = 1\) 有且仅有一个公共点。求所有直线方程。
【子目标1：渐近线 \(y = \pm 2x\)】
判断定点位置：\(\left(\dfrac{1}{2},\, 2\right)\)，右顶点 \(x = \pm\dfrac{1}{2}\)。定点在双曲线右支的顶点上方，属于双曲线”外部”区域。
【子目标2：\(k\) 不存在】
\(x = \dfrac{1}{2}\)，代入 \(4 \cdot \dfrac{1}{4} - y^2 = 1\)，得 \(y = 0\)。只有一个交点 \(\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)\)。
直线 \(x = \dfrac{1}{2}\) 满足条件。
【子目标3：\(k\) 存在，设 \(y - 2 = k(x - \tfrac{1}{2})\)】
联立化简后得 \((4 - k^2)x^2 + (k^2 - 4k)x + \cdots = 0\)。
情况 A： \(4 - k^2 = 0\)，即 \(k = \pm 2\)（与渐近线平行）。
- \(k = 2\)：代入验证，\(y = 2x + 1\)，一次方程有一个解 → 满足。
- \(k = -2\)：\(y = -2x + 3\)，一次方程有一个解 → 满足。
情况 B： \(4 - k^2 \neq 0\)，令 \(\Delta = 0\)，解出 \(k = \dfrac{5}{2}\)。
验证：此时直线与双曲线相切。
【结论】 共 4 条直线：\(x = \dfrac{1}{2}\)，\(y = 2x+1\)，\(y = -2x+3\)，\(y = \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{4}\)。
子技能训练
训练1：判断定点位置
对于双曲线 \(\dfrac{x^2}{2} - y^2 = 1\)：
- 点 \((3, 0)\) 在双曲线的____（内部/外部/上）
- 点 \((1, 0)\) 在双曲线的____
- 渐近线斜率为____
- 过点 \((1, 0)\) 的直线，与双曲线至少有____个交点
- 外部（在右支的右侧）
- 内部（在两支之间的”肚子”外，但在渐近线围成的区域内——实际代入 \(\dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2} < 1\)，在双曲线内部）
- \(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- 1个（在内部的点，任何方向的直线都至少有1个交点）
训练2：写出联立结果
直线 \(y = kx + 1\) 与双曲线 \(x^2 - \dfrac{y^2}{4} = 1\) 联立，写出二次方程并指出何时二次项系数为零。
\(4x^2 - (kx+1)^2 = 4\)，即 \((4-k^2)x^2 - 2kx - 5 = 0\)。
当 \(k = \pm 2\) 时二次项系数为零。
Faded Example
题目： 2024北京高考。直线 \(y = kx + 1\) 与双曲线 \(\dfrac{x^2}{2} - y^2 = 1\) 交于右支两个不同的点，求 \(k\) 的取值范围。
【第一步：联立】
\(x^2 - 2(kx+1)^2 = 2\)，整理：\((1-2k^2)x^2 - 4kx - 4 = 0\)。
【第二步：条件】
需同时满足：
- 二次项系数 $1 - 2k^2 $ ____
- $> $ ____
- 两根都在右支 → \(x_1 > 0\) 且 \(x_2 > 0\) → $x_1 + x_2 > $ ____，$x_1 x_2 > $ ____
【第三步：用韦达列不等式】
\[x_1 + x_2 = \frac{-4k}{1-2k^2} > 0, \quad x_1 x_2 = \frac{-4}{1-2k^2} > 0\]
（请完成求解。）
\(1-2k^2 \neq 0 \Rightarrow k \neq \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(x_1 x_2 > 0 \Rightarrow 1-2k^2 < 0 \Rightarrow k^2 > \dfrac{1}{2}\)
\(x_1 + x_2 > 0\) 结合 \(1-2k^2 < 0\)，需 \(-4k < 0 \Rightarrow k > 0\)
所以 \(k > \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)。再验证 \(\Delta > 0\)：\(16k^2 + 16(1-2k^2) > 0 \Rightarrow 16 - 16k^2 > 0 \Rightarrow k < 1\)。
最终 \(k \in \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\, 1\right)\)。
⚠ 常见错误
直接令 \(\Delta = 0\) 求相切，漏掉了与渐近线平行的情况（退化为一次方程，也只有一个交点但不是相切）。
\(\Delta > 0\) 只保证两个交点，不保证都在同一支。需要额外条件：两根同号 → 韦达：\(x_1 + x_2\) 和 \(x_1 x_2\) 同时满足符号要求。
设 \(x = ty + n\) 时，弦长公式变为 \(\sqrt{1+t^2}\,|y_1-y_2|\)，其中 \(t\) 不是斜率 \(k\)！\(t = 1/k\)。
Desmos验证
调节 \(k\) 值，验证当 \(k \in \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\) 时，直线确实与双曲线右支有两个交点。
参考视频
关键帧
速查表
椭圆： 联立后必为二次方程，只看 \(\Delta\)。
双曲线： 联立后看三层：
| 层级 | 条件 | 含义 |
|---|---|---|
| 1 | 二次项系数 \(= 0\)？ | 与渐近线平行，退化为一次方程 |
| 2 | \(\Delta\) 的符号？ | 决定交点数 |
| 3 | 两根符号？ | 决定交点在哪个支上 |
弦长公式： \(|AB| = \sqrt{1+k^2} \cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1 x_2}\)
两根同在右支： \(x_1 + x_2 > 0\) 且 \(x_1 x_2 > 0\)
两根同在左支： \(x_1 + x_2 < 0\) 且 \(x_1 x_2 > 0\)
左右各一： \(x_1 x_2 < 0\)