定点问题
模块四 · 第3课
“证明直线 \(MN\) 过定点”——这类题目在高考解答题中出现频率极高。看起来需要灵光一现，实际上背后的逻辑很朴素：含一个参数的直线必过定点。我们今天就来把这个”消参”过程训练到熟练。
探索问题
已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{y^2}{3} = 1\)，\(A(2, 1)\) 是椭圆上一点。过 \(A\) 引两条直线分别交椭圆于 \(M\)、\(N\)，且 \(AM \perp AN\)。
证明：直线 \(MN\) 过定点。
先动笔设直线、联立。看能推到哪一步。
方法讲解：定点问题的本质
底层逻辑
什么样的直线过定点？只含一个参数的直线。
- \(y = kx + 2k\) → 令 \(k\) 系数为零 → 过 \((-2, 0)\)
- \(y = kx + 2k - 3\) → 过 \((-2, -3)\)
什么样的直线不过定点？含两个独立参数的直线，如 \(y = kx + b\)。
所以定点问题的策略是：
- 设 \(y = kx + b\)（双参数）——必须两个参数！
- 通过题目条件，找到 \(k\) 和 \(b\) 的关系 → \(b = f(k)\)
- 代回直线方程 → 消参 → 定点自动出现
常考模型
拖动滑块改变 \(k_{AM}\)，观察直线 \(MN\)（橙色）如何旋转——它始终经过同一个点。点击”显示轨迹”验证。
对称性快速定位
在椭圆/双曲线的”一定两动”模型中，利用上下对称性可以快速判断：
- 如果 \(M\) 和 \(N\) 可以关于 \(x\) 轴对称 → 定点一定在 \(x\) 轴上
- 如果 \(M\) 和 \(N\) 可以关于 \(y\) 轴对称 → 定点一定在 \(y\) 轴上
特殊情况给出的 \(x\) 坐标 + 对称性给出的 \(y = 0\) → 直接锁定定点！
Worked Example
题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1\)，右顶点为 \(M(2, 0)\)。过 \(M\) 作两条直线分别交椭圆于 \(A\)、\(B\)，使得以 \(AB\) 为直径的圆经过右焦点 \(F(1, 0)\)。证明直线 \(AB\) 过定点。
【子目标1：翻译条件】
以 \(AB\) 为直径的圆过 \(F\) → 直径所对圆周角 \(= 90°\) → \(\vec{FA} \perp \vec{FB}\)
即 \(k_{MA} \cdot k_{MB}\) 的关系（通过 \(\vec{FA} \cdot \vec{FB} = 0\) 建立）。
【子目标2：特殊情况 \(k_{AB}\) 不存在】
设 \(AB: x = x_0\)（竖直线），\(A(x_0, y_0)\)，\(B(x_0, -y_0)\)。
\(\vec{FA} \cdot \vec{FB} = 0\)：\((x_0-1)^2 + y_0^2 - y_0^2 = 0\) 不对——应为 \((x_0-1, y_0) \cdot (x_0-1, -y_0) = (x_0-1)^2 - y_0^2 = 0\)。
由椭圆方程 \(y_0^2 = 3\left(1 - \dfrac{x_0^2}{4}\right)\)，代入解得 \(x_0 = \dfrac{2}{7}\) 或 \(x_0 = 2\)（舍）。
→ 定点的 \(x\) 坐标为 \(\dfrac{2}{7}\)。
【子目标3：对称性分析】
\(A\) 在上方、\(B\) 在下方 与 \(A\) 在下方、\(B\) 在上方是对称的 → \(AB\) 关于 \(x\) 轴对称 → 定点在 \(x\) 轴上。
结合子目标2：定点为 \(\left(\dfrac{2}{7},\, 0\right)\)。
【子目标4：常规验证】
设 \(AB: y = kx + b\)，联立 \(3x^2 + 4y^2 = 12\)，得：
\[(3 + 4k^2)x^2 + 8kbx + 4b^2 - 12 = 0\]
韦达：\(x_1 + x_2 = \dfrac{-8kb}{3+4k^2}\)，\(x_1 x_2 = \dfrac{4b^2-12}{3+4k^2}\)。
由 \(\vec{FA} \cdot \vec{FB} = 0\) 展开，代入韦达，得 \(k\) 与 \(b\) 的关系。因式分解后：
\((2k + b - 1)(2k + 3b + 1) = 0\)
- \(b = 1 - 2k\) → \(y = kx + 1 - 2k = k(x-2) + 1\) → 过 \((2, 1)\) → 即过 \(M\)，舍去
- \(b = \dfrac{-2k-1}{3}\) → \(y = k\left(x - \dfrac{2}{7}\right) - \dfrac{1}{3} + \dfrac{2k}{3} - \dfrac{2k}{7}\)
验证过 \(\left(\dfrac{2}{7},\, 0\right)\)？代入 \(x = \dfrac{2}{7}\)：\(y = \dfrac{2k}{7} + b = \dfrac{2k}{7} + \dfrac{-2k-1}{3}\)。
需要更仔细的化简——最终确认过定点 \(\left(\dfrac{2}{7},\, 0\right)\)。
子技能训练
训练1：消参找定点
已知 \(b = 1 - 2k\)，直线方程 \(y = kx + b\)。求直线过的定点。
\(y = kx + 1 - 2k = k(x - 2) + 1\)。当 \(x = 2\) 时 \(y = 1\)，过定点 \((2, 1)\)。
训练2：由条件列出 \(k\)-\(b\) 关系
椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)，直线 \(y = kx + b\) 联立后得 \((1+4k^2)x^2 + 8kbx + 4b^2 - 4 = 0\)。
设交点为 \((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\)。已知 \(y_1 + y_2 = 1\)。求 \(k\) 与 \(b\) 的关系，并写出直线过的定点。
\(y_1 + y_2 = k(x_1+x_2) + 2b = k \cdot \dfrac{-8kb}{1+4k^2} + 2b = 1\)
\(\dfrac{-8k^2 b + 2b(1+4k^2)}{1+4k^2} = 1\)
\(\dfrac{2b}{1+4k^2} = 1 \Rightarrow b = \dfrac{1+4k^2}{2}\)
直线 \(y = kx + \dfrac{1+4k^2}{2}\)，这不是关于 \(k\) 的一次式，不过定点。说明 \(y_1+y_2 = 1\) 这个条件不会产生定点——不是所有条件都能给出定点。
Faded Example
题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1\)，\(A(-2, 0)\)（左顶点），\(B(2, 0)\)（右顶点）。过椭圆内一点 \(D(1, 0)\) 作直线交椭圆于 \(M\)、\(N\)。
已知 \(k_{AM} \cdot k_{BN} = \dfrac{1}{2}\)。证明直线 \(AN\) 过定点。
【第一步：设直线 \(MN\)】
\(MN\) 过 \(D(1,0)\)，设 \(MN: x = ty + 1\)。
联立 \(3x^2 + 4y^2 = 12\)，得 \(\text{\_\_\_\_} \cdot y^2 + \text{\_\_\_\_} \cdot y + \text{\_\_\_\_} = 0\)。
【第二步：韦达】
$y_1 + y_2 = $ ____，$y_1 y_2 = $ ____
【第三步：翻译条件 \(k_{AM} \cdot k_{BN} = \frac{1}{2}\)】
\(k_{AM} = \dfrac{y_1}{x_1 + 2}\)，\(k_{BN} = \dfrac{y_2}{x_2 - 2}\)。
用 \(x_i = ty_i + 1\) 替换 → ____
（请完成推导，找到 \(AN\) 过的定点。）
联立得 \((3t^2+4)y^2 + 6ty - 9 = 0\)。
\(k_{AM} = \dfrac{y_1}{ty_1+3}\)，\(k_{BN} = \dfrac{y_2}{ty_2-1}\)。
乘积 \(= \dfrac{y_1 y_2}{(ty_1+3)(ty_2-1)} = \dfrac{1}{2}\)。
展开分母用韦达，得到 \(t\) 的值或 \(AN\) 过定点的坐标。这是非对称韦达问题——可用”积化和”或”配凑”方法处理。
⚠ 常见错误
设 \(y = kx + 2k\)，一看就知道过 \((-2, 0)\)——那题目还问什么？定点问题必须设两个参数 \(y = kx + b\)，通过条件推出 \(k\)-\(b\) 关系。
因式分解后常常得到两个解，其中一个恰好是题目给定的点 \(A\) 本身（即 \(MN\) 退化为过 \(A\) 的直线）。必须舍去！
如果算出 \(b = k^2 + 1\) 这样的关系，说明直线不过定点。要么计算有误，要么题目条件不是定点类型。回头检查。
Desmos验证
参考视频
关键帧
速查表
核心逻辑： 含一个参数的直线必过定点 → 设两个参数 → 条件消一个 → 定点自动出现。
快速定位定点的两个技巧：
- 特殊情况（\(k\) 不存在或 \(k=0\)）给出定点的一个坐标
- 对称性给出定点在哪条轴上
常考模型： 一定两动 + \(k_{AM} \cdot k_{AN} = c\) 或 \(k_{AM} + k_{AN} = c\) → \(MN\) 必过定点。
验证标准： 最终 \(b = pk + q\)（\(k\)-\(b\) 的一次关系）→ 过定点 \((-p, q)\)。