定值问题

模块四 · 第4课

“某个表达式是否为定值？”——这类题目的答案几乎总是”是”。我们今天学习一个强大的策略：先猜后证。用特殊情况猜出定值，再用通解流程证明。

探索问题

Tip先试一试

已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)，\(A(-2, 0)\) 和 \(B(2, 0)\) 是左右顶点。椭圆上一点 \(C\)（不在顶点上），求 \(k_{AC} \cdot k_{BC}\) 的值。

提示：取一个特殊的 \(C\) 点（比如 \(C(0, 1)\)），算一下试试？

方法讲解：“先猜后证”策略

策略说明

高考定值问题的解题分两步：

1. 猜值： 取一个特殊（但合法）的情况，计算出具体数值
2. 证明： 用通解流程证明对所有情况都成立

“先猜后证”不是投机取巧——这是一种有效的数学思维方式。特殊情况给出候选值，通解证明普遍性。

动画：定值的直觉

点C的位置 (参数角 θ)： θ = 90°
k_AC = ? k_BC = ? k_AC · k_BC = ?

拖动滑块移动点 \(C\)，观察 \(k_{AC} \cdot k_{BC}\) 的值——它始终等于 \(-\dfrac{1}{4}\)！这就是椭圆的周角定理。

二级结论：椭圆/双曲线的周角定理

这个定值不是巧合，而是点差法的直接推论：

• 椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)：\(k_{AC} \cdot k_{BC} = -\dfrac{b^2}{a^2}\)
• 双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)：\(k_{AC} \cdot k_{BC} = +\dfrac{b^2}{a^2}\)

其中 \(A\)、\(B\) 是左右顶点，\(C\) 是曲线上任意一点。

更一般的情形：垂径定理

对于任意弦 \(AB\)（中点为 \(M\)）和椭圆中心 \(O\)：

\[k_{AB} \cdot k_{OM} = -\frac{b^2}{a^2}\]

椭圆和双曲线各有三个版本——垂径定理、周角定理、周角定理特殊情况——一共六个图，但定值都是 \(\dfrac{b^2}{a^2}\)（椭圆取负，双曲线取正）。

Worked Example

题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)，\(A(-2, 0)\)，\(B(2, 0)\)。椭圆上任意一点 \(C\)（不在顶点上）。证明 \(k_{AC} \cdot k_{BC} = -\dfrac{1}{4}\)。

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【子目标1：先猜——取特殊点】

取 \(C(0, 1)\)：\(k_{AC} = \dfrac{1}{0+2} = \dfrac{1}{2}\)，\(k_{BC} = \dfrac{1}{0-2} = -\dfrac{1}{2}\)。

乘积 \(= -\dfrac{1}{4}\)。猜测定值为 \(-\dfrac{1}{4}\)。

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【子目标2：点差法证明】

设 \(C(x_0, y_0)\) 在椭圆上，\(A(-2, 0)\)，\(B(2, 0)\) 也在椭圆上。

\[\frac{x_0^2}{4} + y_0^2 = 1 \quad \text{且} \quad \frac{4}{4} + 0 = 1\]

两式相减：

\[\frac{x_0^2 - 4}{4} + y_0^2 - 0 = 0\]

\[\frac{(x_0+2)(x_0-2)}{4} + y_0^2 = 0\]

\[\frac{y_0^2}{(x_0+2)(x_0-2)} = -\frac{1}{4}\]

左边恰好是：

\[\frac{y_0}{x_0+2} \cdot \frac{y_0}{x_0-2} = k_{AC} \cdot k_{BC}\]

所以 \(k_{AC} \cdot k_{BC} = -\dfrac{1}{4}\)。证毕。

子技能训练

训练1：“先猜”——取特殊值

Note练习

椭圆 \(\dfrac{x^2}{3} + y^2 = 1\)，过右焦点 \(F(\sqrt{2}, 0)\) 的弦 \(AB\) 的中点为 \(M\)，原点为 \(O\)。

取一个特殊弦（如水平弦 \(y = 0\) 或竖直弦 \(x = \sqrt{2}\)），计算 \(k_{AB} \cdot k_{OM}\) 的值。

Caution参考答案

取竖直弦 \(x = \sqrt{2}\)，代入椭圆得 \(y = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)。中点 \(M = (\sqrt{2}, 0)\)。

\(k_{AB}\) 不存在，\(k_{OM} = 0\)——这是特殊情况，不好用。

取 \(y = 1 \cdot (x - \sqrt{2})\)（斜率为1的弦），联立得交点，计算中点和斜率……

更快的方法：直接用结论 \(k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{b^2}{a^2} = -\dfrac{1}{3}\)。

训练2：点差法

Note练习

对双曲线 \(\dfrac{x^2}{2} - y^2 = 1\)，\(A(\sqrt{2}, 0)\)，\(B(-\sqrt{2}, 0)\)，\(C(x_0, y_0)\) 在曲线上。用点差法证明 \(k_{AC} \cdot k_{BC} = \dfrac{1}{2}\)。

提示：写出 \(C\) 和 \(A\) 满足的方程，相减。

Caution参考答案

\(\dfrac{x_0^2}{2} - y_0^2 = 1\)，\(\dfrac{2}{2} - 0 = 1\)。

相减：\(\dfrac{x_0^2 - 2}{2} - y_0^2 = 0\)

\(\dfrac{(x_0+\sqrt{2})(x_0-\sqrt{2})}{2} = y_0^2\)

\(\dfrac{y_0^2}{(x_0+\sqrt{2})(x_0-\sqrt{2})} = \dfrac{1}{2}\)

即 \(k_{AC} \cdot k_{BC} = \dfrac{1}{2}\)。

Faded Example

题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1\) 上任意一条弦 \(AB\)，中点为 \(M\)，原点 \(O\)。证明 \(k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{3}{4}\)。

【第一步：猜值】

取水平弦（如 \(y = 1\)），求 \(A\)、\(B\)，计算 \(k_{AB}\) 和 \(k_{OM}\)，验证乘积 = ____。

【第二步：点差法】

设 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\) 都在椭圆上：

\[\frac{x_1^2}{4} + \frac{y_1^2}{3} = 1, \quad \frac{x_2^2}{4} + \frac{y_2^2}{3} = 1\]

相减：

\[\frac{x_1^2 - x_2^2}{4} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{3} = \text{\_\_\_\_}\]

平方差展开：

\[\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{4} + \frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{3} = 0\]

两边除以 \((x_1-x_2)(x_1+x_2)\)，注意 \(M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)：

\[k_{AB} \cdot k_{OM} = \text{\_\_\_\_}\]

Caution参考答案

相减得 \(0\)。

\[\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{4} = -\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{3}\]

\[\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \cdot \frac{y_1+y_2}{x_1+x_2} = -\frac{3}{4}\]

即 \(k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{3}{4}\)。

⚠ 常见错误

Warning错误1：不用特殊值先猜

直接开始通解推导，算了一页纸才发现答案是 \(-\dfrac{1}{4}\)。如果先用特殊值30秒猜出答案，不仅能验证计算，还能在考试中”保底得分”（即使证明没写完）。

Warning错误2：点差法忘记条件 \(x_1 \neq x_2\)

点差法的前提是两点不重合且 \(x_1 \neq x_2\)。如果弦是竖直的（\(x_1 = x_2\)），需要单独验证。

Warning错误3：椭圆双曲线的符号搞反

椭圆的 \(k_{AC} \cdot k_{BC} = -\dfrac{b^2}{a^2}\)（负号），双曲线的 \(= +\dfrac{b^2}{a^2}\)（正号）。记忆技巧：看斜率方向——椭圆中 \(AC\) 和 \(BC\) 斜率异号，双曲线中同号。

Desmos验证

拖动参数 \(t\)，在表达式面板中观察 \(k_1 \cdot k_2\) 始终等于 \(-0.25 = -\dfrac{1}{4}\)。

参考视频

高考真题

Warning高考真题：2022年 新高考I卷 第21题

已知椭圆 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1\ (a>1)\)，\(A, B\) 为左、右顶点，\(G\) 为上顶点，\(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}=8\)。\(P\) 在直线 \(x=6\) 上，直线 \(PA\) 交 \(E\) 于 \(C\)，直线 \(PB\) 交 \(E\) 于 \(D\)。证明：直线 \(CD\) 过定点。

Tip解题思路与答案

第一步：求椭圆方程。

\(A(-a,0), B(a,0), G(0,1)\)。\(\overrightarrow{AG}=(a,1), \overrightarrow{GB}=(a,-1)\)。

\(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}=a^2-1=8\)，\(a^2=9\)，\(a=3\)。

椭圆：\(\dfrac{x^2}{9}+y^2=1\)。

第二步：先猜后证。 取特殊位置猜定点。

取 \(P(6,2)\)：\(PA\) 斜率 \(\dfrac{2}{9}\)，\(PB\) 斜率 \(\dfrac{2}{3}\)。分别联立求出 \(C, D\)，计算直线 \(CD\) 过 \((\dfrac{3}{2}, 0)\)。

取 \(P(6,-1)\) 再验证一次，确认定点 \((\dfrac{3}{2}, 0)\)。

第三步：一般性证明。

设 \(P(6,t)\)，\(C(x_1,y_1), D(x_2,y_2)\)。

直线 \(PA\)：\(y=\dfrac{t}{9}(x+3)\)，代入椭圆，由韦达定理得 \(x_1=\dfrac{3(t^2-9)}{t^2+9}\)。

直线 \(PB\)：\(y=\dfrac{t}{3}(x-3)\)，代入椭圆，由韦达定理得 \(x_2=\dfrac{3(t^2-1)}{t^2+1}\)。

求直线 \(CD\) 的方程，化简后证明恒过 \(\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)\)。

答案： 直线 \(CD\) 过定点 \(\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)\)。

核心策略： 先猜后证——用特殊值找到定点，再用一般参数证明。

Warning高考真题：2019年 全国I卷 第20题（第2问节选）

已知椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)，\(A_1(-2,0), A_2(2,0)\) 为左右顶点。\(P\) 是椭圆上异于 \(A_1, A_2\) 的点，直线 \(PA_1, PA_2\) 的斜率分别为 \(k_1, k_2\)。证明 \(k_1\cdot k_2\) 为定值。

Tip解题思路与答案

设 \(P(x_0, y_0)\) 在椭圆上（\(x_0\neq\pm 2\)），则 \(\dfrac{x_0^2}{4}+\dfrac{y_0^2}{3}=1\)。

\[k_1\cdot k_2=\frac{y_0}{x_0+2}\cdot\frac{y_0}{x_0-2}=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}\]

由椭圆方程 \(y_0^2=3\left(1-\dfrac{x_0^2}{4}\right)=\dfrac{3(4-x_0^2)}{4}\)。

\[k_1\cdot k_2=\frac{3(4-x_0^2)/4}{x_0^2-4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{-(x_0^2-4)}{x_0^2-4}=-\frac{3}{4}\]

\(k_1\cdot k_2=-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{b^2}{a^2}\) 是定值。

答案： \(k_1\cdot k_2=-\dfrac{3}{4}\)（定值）。

方法： 点差法的特殊情形。本质上是椭圆第三定义的直接推论。

关键帧

定值问题的”先猜后证”策略

点差法的推导过程

椭圆的垂径定理

六个图一起记

速查表

Important定值问题速查

解题策略：先猜后证

1. 取特殊值（如顶点、短轴端点等），30秒猜出定值
2. 用点差法或通解流程证明

六个核心定值（一起记！）

曲线	结论	定值
椭圆	\(k_{AB} \cdot k_{OM}\)（垂径定理）	\(-\dfrac{b^2}{a^2}\)
椭圆	\(k_{AC} \cdot k_{BC}\)（周角定理）	\(-\dfrac{b^2}{a^2}\)
椭圆	\(k_{PA} \cdot k_{PB}\)（\(A\)、\(B\) 为左右顶点）	\(-\dfrac{b^2}{a^2}\)
双曲线	以上三个	\(+\dfrac{b^2}{a^2}\)

点差法三步： 写两点方程 → 相减 → 平方差 → 提取斜率