定值问题
模块四 · 第4课
“某个表达式是否为定值？”——这类题目的答案几乎总是”是”。我们今天学习一个强大的策略：先猜后证。用特殊情况猜出定值，再用通解流程证明。
探索问题
已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)，\(A(-2, 0)\) 和 \(B(2, 0)\) 是左右顶点。椭圆上一点 \(C\)（不在顶点上），求 \(k_{AC} \cdot k_{BC}\) 的值。
提示：取一个特殊的 \(C\) 点（比如 \(C(0, 1)\)），算一下试试？
方法讲解：“先猜后证”策略
策略说明
高考定值问题的解题分两步：
- 猜值： 取一个特殊（但合法）的情况，计算出具体数值
- 证明： 用通解流程证明对所有情况都成立
“先猜后证”不是投机取巧——这是一种有效的数学思维方式。特殊情况给出候选值，通解证明普遍性。
动画：定值的直觉
k_AC = ? k_BC = ? k_AC · k_BC = ?
拖动滑块移动点 \(C\)，观察 \(k_{AC} \cdot k_{BC}\) 的值——它始终等于 \(-\dfrac{1}{4}\)！这就是椭圆的周角定理。
二级结论：椭圆/双曲线的周角定理
这个定值不是巧合，而是点差法的直接推论：
- 椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)：\(k_{AC} \cdot k_{BC} = -\dfrac{b^2}{a^2}\)
- 双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)：\(k_{AC} \cdot k_{BC} = +\dfrac{b^2}{a^2}\)
其中 \(A\)、\(B\) 是左右顶点，\(C\) 是曲线上任意一点。
更一般的情形：垂径定理
对于任意弦 \(AB\)（中点为 \(M\)）和椭圆中心 \(O\)：
\[k_{AB} \cdot k_{OM} = -\frac{b^2}{a^2}\]
椭圆和双曲线各有三个版本——垂径定理、周角定理、周角定理特殊情况——一共六个图，但定值都是 \(\dfrac{b^2}{a^2}\)（椭圆取负，双曲线取正）。
Worked Example
题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)，\(A(-2, 0)\)，\(B(2, 0)\)。椭圆上任意一点 \(C\)（不在顶点上）。证明 \(k_{AC} \cdot k_{BC} = -\dfrac{1}{4}\)。
【子目标1：先猜——取特殊点】
取 \(C(0, 1)\)：\(k_{AC} = \dfrac{1}{0+2} = \dfrac{1}{2}\)，\(k_{BC} = \dfrac{1}{0-2} = -\dfrac{1}{2}\)。
乘积 \(= -\dfrac{1}{4}\)。猜测定值为 \(-\dfrac{1}{4}\)。
【子目标2：点差法证明】
设 \(C(x_0, y_0)\) 在椭圆上，\(A(-2, 0)\)，\(B(2, 0)\) 也在椭圆上。
\[\frac{x_0^2}{4} + y_0^2 = 1 \quad \text{且} \quad \frac{4}{4} + 0 = 1\]
两式相减：
\[\frac{x_0^2 - 4}{4} + y_0^2 - 0 = 0\]
\[\frac{(x_0+2)(x_0-2)}{4} + y_0^2 = 0\]
\[\frac{y_0^2}{(x_0+2)(x_0-2)} = -\frac{1}{4}\]
左边恰好是：
\[\frac{y_0}{x_0+2} \cdot \frac{y_0}{x_0-2} = k_{AC} \cdot k_{BC}\]
所以 \(k_{AC} \cdot k_{BC} = -\dfrac{1}{4}\)。证毕。
子技能训练
训练1：“先猜”——取特殊值
椭圆 \(\dfrac{x^2}{3} + y^2 = 1\)，过右焦点 \(F(\sqrt{2}, 0)\) 的弦 \(AB\) 的中点为 \(M\)，原点为 \(O\)。
取一个特殊弦（如水平弦 \(y = 0\) 或竖直弦 \(x = \sqrt{2}\)），计算 \(k_{AB} \cdot k_{OM}\) 的值。
取竖直弦 \(x = \sqrt{2}\)，代入椭圆得 \(y = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)。中点 \(M = (\sqrt{2}, 0)\)。
\(k_{AB}\) 不存在，\(k_{OM} = 0\)——这是特殊情况，不好用。
取 \(y = 1 \cdot (x - \sqrt{2})\)（斜率为1的弦），联立得交点，计算中点和斜率……
更快的方法：直接用结论 \(k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{b^2}{a^2} = -\dfrac{1}{3}\)。
训练2：点差法
对双曲线 \(\dfrac{x^2}{2} - y^2 = 1\)，\(A(\sqrt{2}, 0)\)，\(B(-\sqrt{2}, 0)\)，\(C(x_0, y_0)\) 在曲线上。用点差法证明 \(k_{AC} \cdot k_{BC} = \dfrac{1}{2}\)。
提示：写出 \(C\) 和 \(A\) 满足的方程，相减。
\(\dfrac{x_0^2}{2} - y_0^2 = 1\)，\(\dfrac{2}{2} - 0 = 1\)。
相减：\(\dfrac{x_0^2 - 2}{2} - y_0^2 = 0\)
\(\dfrac{(x_0+\sqrt{2})(x_0-\sqrt{2})}{2} = y_0^2\)
\(\dfrac{y_0^2}{(x_0+\sqrt{2})(x_0-\sqrt{2})} = \dfrac{1}{2}\)
即 \(k_{AC} \cdot k_{BC} = \dfrac{1}{2}\)。
Faded Example
题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1\) 上任意一条弦 \(AB\)，中点为 \(M\)，原点 \(O\)。证明 \(k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{3}{4}\)。
【第一步：猜值】
取水平弦（如 \(y = 1\)），求 \(A\)、\(B\)，计算 \(k_{AB}\) 和 \(k_{OM}\)，验证乘积 = ____。
【第二步：点差法】
设 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\) 都在椭圆上：
\[\frac{x_1^2}{4} + \frac{y_1^2}{3} = 1, \quad \frac{x_2^2}{4} + \frac{y_2^2}{3} = 1\]
相减：
\[\frac{x_1^2 - x_2^2}{4} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{3} = \text{\_\_\_\_}\]
平方差展开：
\[\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{4} + \frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{3} = 0\]
两边除以 \((x_1-x_2)(x_1+x_2)\)，注意 \(M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)：
\[k_{AB} \cdot k_{OM} = \text{\_\_\_\_}\]
相减得 \(0\)。
\[\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{4} = -\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{3}\]
\[\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \cdot \frac{y_1+y_2}{x_1+x_2} = -\frac{3}{4}\]
即 \(k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{3}{4}\)。
⚠ 常见错误
直接开始通解推导，算了一页纸才发现答案是 \(-\dfrac{1}{4}\)。如果先用特殊值30秒猜出答案，不仅能验证计算，还能在考试中”保底得分”（即使证明没写完）。
点差法的前提是两点不重合且 \(x_1 \neq x_2\)。如果弦是竖直的（\(x_1 = x_2\)），需要单独验证。
椭圆的 \(k_{AC} \cdot k_{BC} = -\dfrac{b^2}{a^2}\)（负号），双曲线的 \(= +\dfrac{b^2}{a^2}\)（正号）。记忆技巧：看斜率方向——椭圆中 \(AC\) 和 \(BC\) 斜率异号，双曲线中同号。
Desmos验证
拖动参数 \(t\)，在表达式面板中观察 \(k_1 \cdot k_2\) 始终等于 \(-0.25 = -\dfrac{1}{4}\)。
参考视频
关键帧
速查表
解题策略：先猜后证
- 取特殊值（如顶点、短轴端点等），30秒猜出定值
- 用点差法或通解流程证明
六个核心定值（一起记！）
| 曲线 | 结论 | 定值 |
|---|---|---|
| 椭圆 | \(k_{AB} \cdot k_{OM}\)（垂径定理） | \(-\dfrac{b^2}{a^2}\) |
| 椭圆 | \(k_{AC} \cdot k_{BC}\)（周角定理） | \(-\dfrac{b^2}{a^2}\) |
| 椭圆 | \(k_{PA} \cdot k_{PB}\)（\(A\)、\(B\) 为左右顶点） | \(-\dfrac{b^2}{a^2}\) |
| 双曲线 | 以上三个 | \(+\dfrac{b^2}{a^2}\) |
点差法三步： 写两点方程 → 相减 → 平方差 → 提取斜率