中点弦与点差法

模块四 · 第5课

Published

March 22, 2026

当题目涉及”中点”和”斜率”，我们有一个比联立方程更优雅的武器——点差法。它绕开了韦达定理，直接从两点满足曲线方程的条件出发，一步得到中点与斜率的关系。

探索问题

先试一试

椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 内一点 $P(2, 1)$，以 $P$ 为中点的弦所在直线的斜率是多少？

提示：你可以联立方程求解（很麻烦），也可以试试下面要学的点差法（三行搞定）。

方法讲解：点差法

为什么需要点差法？

常规做法：设直线 $y - 1 = k(x - 2)$，代入椭圆，用韦达定理 $x_1 + x_2 = 4$（因为中点横坐标为 2），解出 $k$。

计算量不小。点差法可以直接从曲线方程得到中点-斜率关系，跳过联立和韦达。

核心思想

设弦 $AB$ 两个端点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 都在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上。

先写，再减：

\[\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \quad \cdots (1)\] \[\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \quad \cdots (2)\]

$(1) - (2)$：

\[\frac{x_1^2 - x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{b^2} = 0\]

平方差展开：

\[\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{a^2} + \frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{b^2} = 0\]

设中点 $M(x_0, y_0)$，则 $x_1 + x_2 = 2x_0$，$y_1 + y_2 = 2y_0$。弦斜率 $k_{AB} = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$。

代入得：

\[\frac{2x_0}{a^2} + \frac{2y_0}{b^2} \cdot k_{AB} = 0\]

\[\boxed{k_{AB} = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}}\]

动画：点差法的过程

中点 P 的位置 (角度)： P = (?, ?)
k_AB (点差法) = ?

拖动滑块改变中点 $P$ 的位置，观察弦 $AB$ 如何自动调整方向。点差法直接给出斜率，无需联立方程。

三种曲线的公式

曲线	方程	中点-斜率关系
椭圆	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$k = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$
双曲线	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$k = +\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$
抛物线	$y^2 = 2px$	$k = \dfrac{p}{y_0}$

Worked Example

题目： 椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 内一点 $P(2, 1)$，求以 $P$ 为中点的弦所在直线的斜率。

【子目标1：写两点方程】

设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$ 在椭圆上：

\[\frac{x_1^2}{16} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \quad \cdots (1)\] \[\frac{x_2^2}{16} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \quad \cdots (2)\]

【子目标2：相减】

$(1)-(2)$：

\[\frac{x_1^2 - x_2^2}{16} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{4} = 0\]

\[\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{16} + \frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{4} = 0\]

【子目标3：代入中点】

$P$ 为中点 → $x_1+x_2 = 4$，$y_1+y_2 = 2$：

\[\frac{4(x_1-x_2)}{16} + \frac{2(y_1-y_2)}{4} = 0\]

\[\frac{x_1-x_2}{4} + \frac{y_1-y_2}{2} = 0\]

\[\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = -\frac{1}{2}\]

【结论】 $k_{AB} = -\dfrac{1}{2}$。

验证公式： $k = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0} = -\dfrac{4 \cdot 2}{16 \cdot 1} = -\dfrac{1}{2}$。一致。

子技能训练

训练1：直接用公式

练习

用公式 $k = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$ 直接计算以下中点弦的斜率：

椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$，中点 $(1, 1)$
椭圆 $\dfrac{x^2}{3} + y^2 = 1$，中点 $(-1, \dfrac{1}{2})$
双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - y^2 = 1$，中点 $(3, 2)$（注意符号！）

参考答案

$k = -\dfrac{4 \cdot 1}{9 \cdot 1} = -\dfrac{4}{9}$
$k = -\dfrac{1 \cdot (-1)}{3 \cdot \frac{1}{2}} = \dfrac{2}{3}$
双曲线用正号：$k = +\dfrac{1 \cdot 3}{4 \cdot 2} = \dfrac{3}{8}$

训练2：完整点差法推导

练习

对抛物线 $y^2 = 8x$，设弦 $AB$ 的中点为 $M(x_0, y_0)$。用点差法推导 $k_{AB}$ 的表达式。

提示：$y_1^2 = 8x_1$，$y_2^2 = 8x_2$，相减……

参考答案

$y_1^2 - y_2^2 = 8(x_1 - x_2)$

$(y_1+y_2)(y_1-y_2) = 8(x_1-x_2)$

$2y_0 \cdot (y_1-y_2) = 8(x_1-x_2)$

$k_{AB} = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = \dfrac{8}{2y_0} = \dfrac{4}{y_0}$

对 $y^2 = 2px$ 的一般形式，$k = \dfrac{p}{y_0}$。这里 $2p = 8$，$p = 4$，$k = \dfrac{4}{y_0}$。

训练3：判断中点是否在曲线内

练习

椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$。以下哪些点可以作为弦的中点？

A. $(1, 0.5)$ B. $(2, 0)$ C. $(0, 1)$ D. $(1.5, 0.8)$

参考答案

检验 $\dfrac{x_0^2}{4} + y_0^2 < 1$（必须在椭圆内部）：

A. $\dfrac{1}{4} + 0.25 = 0.5 < 1$ → 可以

B. $\dfrac{4}{4} + 0 = 1$ → 在椭圆上，不是”弦的中点”（退化为一个点）

C. $0 + 1 = 1$ → 同上

D. $\dfrac{2.25}{4} + 0.64 = 0.5625 + 0.64 = 1.2025 > 1$ → 在椭圆外，不可以

Faded Example

题目： 双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{3} = 1$，过点 $P(1, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支交于 $A$、$B$ 两点，且 $P$ 为 $AB$ 中点。求 $l$ 的方程。

【第一步：点差法求斜率】

$k = + = + = $ ____

【第二步：直线方程】

$l: y - 1 = \text{\_\_\_\_}(x - 1)$，即 $y = $ ____

【第三步：验证】

需要验证两交点确实都在右支上（$x_1 > 0$，$x_2 > 0$），且 $P$ 确实是中点。

联立 $l$ 与双曲线，检查 $\Delta > 0$ 和 $x_1 + x_2 = 2$。

（请完成验证。）

参考答案

$k = \dfrac{3}{4}$，$l: y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}$。

联立：$\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{(3x/4 + 1/4)^2}{3} = 1$。

整理后检查 $\Delta > 0$，$x_1 + x_2 = 2$（由韦达），$x_1 x_2 > 0$。

注意：$P(1,1)$ 是否在双曲线内部？$\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{12} < 0$——$P$ 在双曲线的两支之间，但不在右支的”肚子”里，需要仔细验证弦的存在性。

⚠ 常见错误

错误1：不检验中点是否在曲线内

用点差法算出斜率后就结束了——但如果中点在曲线外面，这条弦根本不存在！必须验证中点在曲线内部。

错误2：双曲线的符号搞错

椭圆取负号，双曲线取正号。如果写成 $k = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$ 用到双曲线上，符号就反了。

错误3：弦平行于 $y$ 轴时公式失效

当 $y_0 = 0$（中点在 $x$ 轴上），公式分母为零。此时弦垂直于 $x$ 轴，斜率不存在——需要单独讨论。

错误4：混淆”中点弦”与”弦中点”

“以 $P$ 为中点的弦” → 用点差法

“过 $P$ 的弦” → 用联立方程（$P$ 不一定是中点）

题目说的是哪种？审清题意！

Desmos验证

观察直线 $y - 1 = -\dfrac{1}{2}(x-2)$ 与椭圆的两个交点——它们的中点恰好是 $P(2, 1)$。

参考视频

关键帧

速查表

点差法速查

适用场景： 题目涉及”中点”和”斜率”的关系

三步口诀： 写点 → 相减 → 提斜率

公式速查：

曲线	$k_{AB}$
椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$-\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$
双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$+\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$
抛物线 $y^2 = 2px$	$\dfrac{p}{y_0}$

注意事项：

验证中点在曲线内部
$y_0 = 0$ 时斜率不存在，单独讨论
点差法不告诉你弦的端点坐标——如果需要端点，仍要联立

曲线	\(k_{AB}\)
椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)	\(-\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\)
双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)	\(+\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\)
抛物线 \(y^2 = 2px\)	\(\dfrac{p}{y_0}\)