面积、范围与存在性
模块四 · 第6课
高考圆锥曲线大题的终极boss：求三角形面积的最大值、参数的取值范围、或者证明某个点/直线是否存在。这些问题都需要在韦达定理的基础上，进行一步优化或存在性论证。
探索问题
椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)，过右焦点 \(F(\sqrt{3},\, 0)\) 的直线 \(l\) 交椭圆于 \(A\)、\(B\) 两点。求 \(\triangle AOB\) 面积的最大值（\(O\) 为原点）。
提示：面积 \(= \dfrac{1}{2} |OF| \cdot |y_1 - y_2|\)（为什么？）
方法讲解：三类问题的通用框架
面积问题
三角形面积的常用表达：
\[S_{\triangle} = \frac{1}{2} |底| \cdot |高|\]
在圆锥曲线中，通常选取已知定点到直线的距离作为高，弦长在某方向的投影作为底。
关键技巧： 如果三角形的一个顶点是定点 \(P\)，弦为 \(AB\)：
\[S = \frac{1}{2} \cdot d(P,\, AB) \cdot |AB|\]
其中 \(d(P, AB)\) 是点到直线的距离，\(|AB|\) 用弦长公式。
或者更简洁：如果 \(P\) 在 \(x\) 轴上，\(AB\) 的方程为 \(x = ty + n\)：
\[S = \frac{1}{2} |x_P - n| \cdot |y_1 - y_2| \cdot \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \sqrt{1+t^2} = \frac{1}{2} |x_P - n| \cdot |y_1 - y_2|\]
（因为高 \(= \dfrac{|x_P - n|}{\sqrt{1+t^2}}\)，底 \(= \sqrt{1+t^2}\,|y_1-y_2|\)，乘起来 \(\sqrt{1+t^2}\) 约掉了！）
动画：面积随弦旋转的变化
面积 = ?
拖动滑块旋转弦，观察三角形面积的变化。右上角小图显示面积与参数 \(t\) 的关系曲线——最大值在 \(t = 0\)（弦垂直于 \(x\) 轴）时取到。
范围问题
“求 \(k\) 的取值范围”本质上是多个不等式的交集：
- \(\Delta > 0\)
- 可能的符号限制（如两根同正）
- 可能的参数范围（如 \(k \neq \pm \dfrac{b}{a}\)）
存在性问题
“是否存在实数 \(k\)，使得……” → 先假设存在，列方程求解，看是否有合法的解。
Worked Example
题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)，过右焦点 \(F(\sqrt{3},\, 0)\) 的直线交椭圆于 \(A\)、\(B\)。求 \(\triangle AOB\) 面积的最大值。
【子目标1：设直线、联立】
\(F\) 在 \(x\) 轴上，设 \(l: x = ty + \sqrt{3}\)。
代入 \(x^2 + 4y^2 = 4\)：
\[(t^2 + 4)y^2 + 2\sqrt{3}\,t\,y + 3 - 4 = 0\]
\[(t^2 + 4)y^2 + 2\sqrt{3}\,t\,y - 1 = 0\]
【子目标2：韦达】
\[y_1 + y_2 = \frac{-2\sqrt{3}\,t}{t^2+4}, \quad y_1 y_2 = \frac{-1}{t^2+4}\]
【子目标3：面积表达式】
\[S = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|\]
其中 \(x_i = ty_i + \sqrt{3}\)，代入展开：
\[x_1 y_2 - x_2 y_1 = (ty_1 + \sqrt{3})y_2 - (ty_2 + \sqrt{3})y_1 = \sqrt{3}(y_2 - y_1)\]
所以 \(S = \dfrac{\sqrt{3}}{2} |y_1 - y_2|\)。
【子目标4：用韦达化简 \(|y_1-y_2|\)】
\[(y_1-y_2)^2 = (y_1+y_2)^2 - 4y_1 y_2 = \frac{12t^2}{(t^2+4)^2} + \frac{4}{t^2+4}\]
\[= \frac{12t^2 + 4(t^2+4)}{(t^2+4)^2} = \frac{16t^2 + 16}{(t^2+4)^2} = \frac{16(t^2+1)}{(t^2+4)^2}\]
【子目标5：最大值——换元求解】
\[S^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{16(t^2+1)}{(t^2+4)^2} = \frac{12(t^2+1)}{(t^2+4)^2}\]
设 \(u = t^2 + 1 \geq 1\)，则 \(t^2 + 4 = u + 3\)：
\[S^2 = \frac{12u}{(u+3)^2}\]
令 \(f(u) = \dfrac{u}{(u+3)^2}\)。求导令 \(f'(u) = 0\)：
\[f'(u) = \frac{(u+3)^2 - u \cdot 2(u+3)}{(u+3)^4} = \frac{3-u}{(u+3)^3} = 0 \Rightarrow u = 3\]
所以 \(t^2 = 2\)，\(S^2 = \dfrac{12 \cdot 3}{36} = 1\)，\(S_{\max} = 1\)。
【结论】 \(\triangle AOB\) 面积的最大值为 \(1\)，当 \(t = \pm\sqrt{2}\) 时取到。
子技能训练
训练1：面积公式——叉积法
已知 \(O\) 为原点，\(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)。
证明 \(S_{\triangle OAB} = \dfrac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|\)。
然后用此公式计算 \(A(1, 2)\)，\(B(3, 1)\) 构成的三角形面积。
\(\vec{OA} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{OB} = (x_2, y_2)\)。
\(S = \dfrac{1}{2}|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \dfrac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|\)
\(= \dfrac{1}{2}|1 \cdot 1 - 3 \cdot 2| = \dfrac{1}{2}|1-6| = \dfrac{5}{2}\)
训练2：\(|y_1 - y_2|\) 的韦达化简
已知 \(y_1 + y_2 = \dfrac{-6t}{3t^2+4}\)，\(y_1 y_2 = \dfrac{-9}{3t^2+4}\)。
计算 \((y_1-y_2)^2\) 用韦达表示。
\((y_1-y_2)^2 = (y_1+y_2)^2 - 4y_1 y_2\)
\(= \dfrac{36t^2}{(3t^2+4)^2} + \dfrac{36}{3t^2+4}\)
\(= \dfrac{36t^2 + 36(3t^2+4)}{(3t^2+4)^2} = \dfrac{144t^2 + 144}{(3t^2+4)^2} = \dfrac{144(t^2+1)}{(3t^2+4)^2}\)
训练3：求最值——换元法
求 \(f(u) = \dfrac{u}{(u+3)^2}\) 在 \(u \geq 1\) 上的最大值。
方法1：求导。方法2：令 \(v = u + 3\)，用均值不等式。
方法2（均值不等式）：
\(\dfrac{u}{(u+3)^2} = \dfrac{1}{(u+3)^2/u} = \dfrac{1}{u + 6 + 9/u}\)
由均值不等式 \(u + \dfrac{9}{u} \geq 2\sqrt{9} = 6\)（当 \(u = 3\) 时等号）。
\(f(u) \leq \dfrac{1}{6+6} = \dfrac{1}{12}\)
\(f_{\max} = \dfrac{1}{12}\)，当 \(u = 3\)（即 \(t^2 = 2\)）时取到。
Faded Example
题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{3} + y^2 = 1\)，直线 \(l\) 过右焦点 \(F(\sqrt{2},\, 0)\) 交椭圆于 \(A\)、\(B\)。
求 \(|AB|\) 的取值范围。
是否存在直线 \(l\)，使得 \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0\)？
【第(1)题：设直线联立】
设 \(l: x = ty + \sqrt{2}\)，代入 \(x^2 + 3y^2 = 3\)：
\((t^2+3)y^2 + 2\sqrt{2}\,t\,y + \text{\_\_\_\_} = 0\)
\(|AB| = \sqrt{1+t^2}\,|y_1-y_2| = \sqrt{1+t^2} \cdot \dfrac{\sqrt{\Delta}}{t^2+3}\)
（求 \(|AB|\) 关于 \(t\) 的表达式，然后分析取值范围。）
【第(2)题：存在性】
\(\vec{OA} \cdot \vec{OB} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0\)
用韦达替换 → 得到关于 \(t\) 的方程 → 检查是否有实数解。
（请完成。）
常数项为 \(2 - 3 = -1\)。\(|AB|\) 在 \(t = 0\) 时最大（\(= 2\)，即通径），\(t \to \infty\) 时 \(|AB| \to \dfrac{2b^2}{a} = \dfrac{2}{{\sqrt{3}}}\)。取值范围 \(\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},\, 2\right]\)。
\(x_1 x_2 = \dfrac{-1}{t^2+3}\)，\(y_1 y_2 = \dfrac{-1}{t^2+3}\)。
\(x_1 x_2 + y_1 y_2 = (t^2+1) \cdot y_1 y_2 + \sqrt{2}t(y_1+y_2) + 2 = 0\)
展开后是关于 \(t\) 的方程。检查是否有实数解，并验证 \(\Delta > 0\)。
⚠ 常见错误
用弦长作底时，高不是定点到弦端点的距离，而是定点到弦所在直线的距离。两者不同！
求出最大值后，忘记检查对应的参数值是否满足 \(\Delta > 0\)。如果 \(\Delta \leq 0\)，那个”最大值”根本不存在。
求 \(k\) 的范围时只用了 \(\Delta > 0\)，忘记了”两根在同一支”或”二次项系数不为零”等额外条件。要列出所有约束，取交集。
“存在”不仅要解出 \(k\) 的值，还要验证： 1. \(\Delta > 0\)（有两个交点） 2. 交点确实在曲线上（不在渐近线上等） 3. 答案满足题目的所有限制条件
Desmos验证
拖动 \(t\)，观察三角形 \(OAB\) 的面积变化。\(t = 0\) 时弦最长但三角形退化（\(O\) 在 \(AB\) 延长线上），面积为零。\(t = \pm\sqrt{2}\) 时面积最大。
参考视频
关键帧
速查表
面积问题三种方法：
| 方法 | 公式 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 叉积法 | \(S = \dfrac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|\) | 一顶点为原点 |
| 底高法 | \(S = \dfrac{1}{2} \cdot d \cdot |AB|\) | \(d\) = 定点到直线距离 |
| 参数消去 | 设 \(x=ty+n\)，\(S = \dfrac{1}{2}|n| \cdot |y_1-y_2|\) | 定点在 \(x\) 轴上 |
最值求解： \((y_1-y_2)^2 = (y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2\) → 代入韦达 → 换元 → 求导或均值不等式
范围问题： 列出所有约束 → 取交集
| 约束来源 | 不等式 |
|---|---|
| 有两个交点 | \(\Delta > 0\) |
| 同一支 | \(x_1 x_2 > 0\) 且 \(x_1+x_2\) 同号 |
| 二次方程 | 二次项系数 \(\neq 0\) |
存在性： 假设存在 → 列方程 → 解出参数 → 验证合法性