仿射变换 — 椭圆↔︎圆的快速通道
模块五 · 第2课（选学）
本课属于提分技巧模块，适合已掌握模块一至四全部内容、目标冲刺满分的同学。如果你对基础解题流程还不够熟练，建议先巩固模块四再来学习。
椭圆有对称轴，但”不够对称”——它只关于长轴和短轴对称。圆则关于任意直径对称。如果我们能把椭圆”压”成圆，在圆里解题，再”拉”回椭圆，很多问题就变得极其简单。这就是仿射变换。
探索问题
椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1\) 的内接三角形 \(ABC\)，\(O\) 为重心。求 \(S_{\triangle ABC}\) 的最大值。
如果用常规方法（设三点坐标→面积公式→求最值），参数极多。有没有更优雅的方法？
为什么需要这个技巧
核心思想
椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 上的每个点 \((x, y)\)，经过变换
\[x' = \frac{x}{a}, \qquad y' = \frac{y}{b}\]
映射到单位圆 \(x'^2 + y'^2 = 1\) 上的点 \((x', y')\)。
反过来，圆上的点乘以 \((a, b)\) 就回到椭圆。
什么性质在变换中保持不变？
| 性质 | 是否保持 | 说明 |
|---|---|---|
| 平行 | 保持 | 平行线仿射后仍平行 |
| 共线 | 保持 | 三点共线仿射后仍共线 |
| 线段比例 | 保持 | 共线三点的比值不变 |
| 面积比 | 固定比值 \(ab:1\) | 所有面积同比缩放 |
| 斜率 | 乘以 \(b/a\) | \(k_{\text{椭圆}} = \dfrac{b}{a} \cdot k_{\text{圆}}\) |
| 弦长 | 不保持 | 斜方向无简单比例关系 |
仿射变换保平行、保共线、保比例、保面积比，但斜向弦长无固定比例关系。涉及弦长的题目不要使用仿射变换。
方法讲解
动画1：椭圆变圆的过程
拖动滑块（或点击播放），观察椭圆如何连续变形为单位圆。注意三角形 \(ABC\) 的形状在变化，但共线、平行、比例关系全部保持。
动画2：在圆中解题，映射回椭圆
依次点击三个按钮，观察：
- 单位圆中最大内接三角形是正三角形，面积为 \(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)
- 映射回椭圆后，三角形变形但仍是面积最大的内接三角形
- 面积乘以 \(ab\) 即得椭圆内接三角形最大面积
Worked Example
题目： 椭圆 \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1\)，内接三角形 \(ABC\)，\(O\) 为原点，\(AB\) 过原点。求证：\(k_{OC} \cdot k_{AB} = -\dfrac{3}{4}\)。
解法（仿射变换）：
Step 1： 仿射变换 \(x' = x/2\)，\(y' = y/\sqrt{3}\)，椭圆变为单位圆 \(x'^2 + y'^2 = 1\)。
Step 2： \(A'B'\) 过原点，所以 \(A'B'\) 是圆的直径。\(C'\) 在圆上。
Step 3： 在圆中，直径所对的圆周角为直角，因此 \(\angle A'C'B' = 90°\)，但我们需要的是垂径定理：\(AB\) 过原点意味着 \(AB\) 是弦，其中点与 \(O\) 的连线垂直于 \(AB\)。
不，\(AB\) 过原点 = \(A'B'\) 过原点 = \(A'B'\) 是直径。
取 \(A'B'\) 中点为 \(O\)（即原点），\(C'\) 在圆上。连 \(OC'\)。
在圆中：\(k_{A'B'} \cdot k_{OC'} = -1\)（当且仅当 \(OC' \perp A'B'\)，这在一般情况下不成立）。
更正： 这里应该用的是垂径定理的变形。设 \(C'\) 在圆上任意位置，\(M'\) 是 \(A'B'\)（直径）的中点（即原点）。对于任意弦 \(MN\) 及其中点 \(E\)，有 \(k_{OE} \cdot k_{MN} = -1\)。
但原题说的是 \(AB\) 过原点（\(O\) 是中心），\(C\) 是椭圆上另一点。需要用椭圆垂径定理。
正确的仿射证法：
设 \(AB\) 是过原点的弦，\(C\) 是椭圆上不在 \(AB\) 上的点。在圆中，\(A'B'\) 是直径。由圆的性质，\(\angle A'C'B' = 90°\)，所以 \(k_{C'A'} \cdot k_{C'B'} = -1\)。
回到椭圆：\(k_{CA} \cdot k_{CB} = \dfrac{b^2}{a^2} \cdot (-1) = -\dfrac{3}{4}\)。
这就是椭圆的垂角定理（斜率乘积等于 \(-b^2/a^2\)），仿射变换一步证出！
在圆中 \(k_1 \cdot k_2 = -1\)（直径对应的圆周角为直角），回到椭圆后每个斜率乘以 \(\dfrac{b}{a}\)，所以：
\[k_{CA} \cdot k_{CB} = \left(\frac{b}{a}\right)^2 \cdot (-1) = -\frac{b^2}{a^2} = -\frac{3}{4}\]
一行搞定，无需任何坐标运算。
对比：同一问题两种解法
| 常规方法（点差法） | 仿射变换 | |
|---|---|---|
| 设点 | \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\), \(C(x_3,y_3)\) | 仿射到圆 |
| 核心步骤 | 点差法展开、代入韦达 | 圆周角定理 |
| 计算量 | 约10行代数 | 2行推理 |
| 出错概率 | 高（多步代数） | 极低 |
Desmos验证
调节斜率 \(k_0\)，观察过原点的弦 \(AB\) 旋转时，椭圆上任意点 \(C\) 到 \(A\)、\(B\) 的斜率乘积始终为 \(-3/4\)。
参考视频
高考真题
已知椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)，内接三角形 \(\triangle PQR\) 的重心恰好在原点 \(O\)。求 \(\triangle PQR\) 面积的最大值。
仿射变换法： 作变换 \(x'=\dfrac{x}{2}, y'=\dfrac{y}{\sqrt{3}}\)，椭圆变为单位圆 \(x'^2+y'^2=1\)。
在单位圆中，重心在圆心的内接三角形面积最大值为 \(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)（正三角形时取到）。
仿射变换的面积缩放因子为 \(|J|=2\sqrt{3}\)（即 \(a\cdot b\)）。
所以椭圆内接三角形面积最大值为：
\[S_{\max}=2\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{6\cdot 3}{4}=\frac{9}{2}\]
但需注意：仿射变换保持重心位置不变（重心在原点 \(\Leftrightarrow\) 变换后重心在原点），且正三角形映射为椭圆内接三角形。
验证： 正三角形在单位圆上的三个顶点为 \((\cos\theta, \sin\theta)\)（\(\theta\) 相隔 \(120°\)），面积 \(=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)。对应椭圆上的三角形面积 \(=2\sqrt{3}\times\dfrac{3\sqrt{3}}{4}=\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2}\)。
答案： \(\triangle PQR\) 面积最大值为 \(\dfrac{9}{2}\)。
椭圆 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) 上有一条弦 \(AB\)，\(M\) 为 \(AB\) 的中点。若 \(|AB|=4\)，求 \(M\) 的轨迹方程。
仿射变换法： 令 \(x'=\dfrac{x}{3}, y'=\dfrac{y}{2}\)，椭圆 \(\to\) 单位圆 \(x'^2+y'^2=1\)。
弦 \(AB\) 映射为圆的弦 \(A'B'\)，中点 \(M\to M'\)。
弦长变换：仿射变换不保持长度，所以不能直接转换 \(|AB|=4\) 为圆弦长。
传统方法更合适： 设 \(A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)\)，\(M(x_0,y_0)=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)。
两点在椭圆上相减（点差法）：\(\dfrac{x_1+x_2}{9}(x_1-x_2)+\dfrac{y_1+y_2}{4}(y_1-y_2)=0\)
\(\dfrac{2x_0}{9}\Delta x+\dfrac{2y_0}{4}\Delta y=0\)
\(k_{AB}=-\dfrac{4x_0}{9y_0}\)
再利用弦长条件 \(|AB|=4\) 和中点坐标关系建立 \(M\) 的轨迹方程。
答案： 仿射变换将椭圆问题简化为圆的问题，但弦长条件需特殊处理。对于中点弦问题，仿射变换的优势在于确定斜率关系（中点弦斜率公式），而弦长约束需回到原坐标计算。
关键帧
速查表
椭圆 → 圆： \(x' = x/a\)，\(y' = y/b\)
圆 → 椭圆： \(x = ax'\)，\(y = by'\)
保持的性质：
- 平行关系不变
- 共线关系不变
- 共线三点的比值不变
- 中点仍是中点，重心仍是重心
- 面积比为 \(ab : 1\)
斜率变换： \(k_{\text{椭圆}} = \dfrac{b}{a} \cdot k_{\text{圆}}\)
常用结论：
| 圆中结论 | 仿射到椭圆 |
|---|---|
| 直径对圆周角 = 90° | \(k_{CA} \cdot k_{CB} = -b^2/a^2\) |
| 垂径定理：\(k_{OE} \cdot k_{MN} = -1\) | \(k_{OE} \cdot k_{MN} = -b^2/a^2\) |
| 最大内接三角形 = 正三角形 | 面积 = \(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}ab\) |
| 最大内接矩形 = 正方形 | 面积 = \(2ab\) |
不能用仿射变换： 弦长问题（斜方向长度无固定比例）
双曲线仿射： 令 \(y = bi \cdot y'\)（引入虚数），可变为圆。适合判断斜率乘积是否为定值，但不如椭圆直观。